Задача оптимизации с ограничениями

Задача оптимизации с ограничениями

\* MERGEFORMAT (.)

\* MERGEFORMAT (.)

Заметим, что ограничения полностью зависят от способа аппроксимации ОДУ и, во многих случаях, функции будут зависеть только от некоторых значений . Например, при использовании явного метода Эйлера, примут следующий вид²:

\* MERGEFORMAT (.)

В выражении \* MERGEFORMAT (.) помимо переменных _и , явно включённых в правую часть равенства, также неявно входят все «запаздывающие» неизвестные функции , что необходимо учитывать при составлении якобиана и гессиана ограничений³.

Введём замену переменных (внесём в вектор неизвестных):

\* MERGEFORMAT (.)

Тогда ограничения могут быть представлены как:

Запишем лагранжиан, связанный с задачей \* MERGEFORMAT (.)-\* MERGEFORMAT (.):

где

Гессиан лагранжиана имеет вид:

где

, \* MERGEFORMAT (.)

Положим, что якобиан ограничений равен , т.е. что

\* MERGEFORMAT (.)

Отметим, далее, что ограничения входят только в выражения якобиана \* MERGEFORMAT (.) и гессиана ограничений \* MERGEFORMAT (.), а, следовательно, только эти матрицы зависят от схемы численного интегрирования ОДУ.

Вычислим их для некоторых численных методов.