«Оценка параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами»

2.Постановка задачи

, \* MERGEFORMAT (.)

где - независимая переменная, обычно – время,– вектор параметров размерности : , - неизвестная вектор-функция независимого аргумента и параметра размерности , - запаздывания, - известная вектор-функция размерности .

Пусть заданы некоторые краевые ограничения, определяющие дополнительные свойства модели, например, граничные ограничения, начальные условия или ограничения параметров:

, \* MERGEFORMAT (.)

где - начальная точка времени, - конечная.

Отметим, что некоторые элементы вектора-параметра могут входить только в функцию , некоторые только в .

Пусть также заданы значения неизвестной функции в некоторых точках :

где - измеренное значение функции в точке (например, в результате эксперимента), - ошибка -ого измерения (часто это ошибка представляется в виде независимой нормально распределённой случайной величины).

Задача оценки параметров системы ОДУ с запаздывающим аргументом заключается в нахождении такого значения параметра , что решение системы \* MERGEFORMAT (.)-\* MERGEFORMAT (.) некоторым образом приближает данные .

Одним из базовых методов для оценки неизвестных параметров моделей по выборочным данным является метод наименьших квадратов (МНК), в котором критерием близости полученного решения к заданным данным служит следующая функция:

Задача оценки параметров \* MERGEFORMAT (.)-\* MERGEFORMAT (.) при использовании МНК может быть записана следующим образом:

при условии, что

\* MERGEFORMAT (.)

и

\* MERGEFORMAT (.)

Отметим, что вид функции решения в общем случае неизвестен (см. главу «Введение») и точные значения заменяются их приближениями , полученные в результате численного решения ОДУ \* MERGEFORMAT (.).