«Оценка параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами»

1.Введение

И хотя во многих случаях исключение запаздывания из рассмотрения позволяет адекватно описывать реальные процессы, иногда это может привести к абсурдным (или, по крайней мере, не эквивалентным реальности) выводам. Так, например, уравнение

является асимптотически устойчивым, однако уравнение

уже не устойчиво ни для какого положительного запаздывания [5]. Другим примером проблемы неучтённого запаздывания может служить модель системы автоматического регулирования («идеальный предсказатель»), где значение входного сигнала в будущий момент времени полностью определяется значением выходного сигнала в настоящий момент времени , что противоречит как здравому смыслу, так и принципу причинности [5].

Обычно модели, зависящие от предыстории, содержат одно или несколько обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с запаздывающими аргументами, как например:

1. 
   уравнение Маккея-Гласса, описывающее концентрацию белых кровяных клеток в организме человека:
   

где и - параметры;

2. 
   уравнение кинетики ферментов
   

где и - параметры;

3. 
   общая модель роста капитала Солоу
   

где ;

4. 
   логистическое уравнение с запаздыванием (уравнение Хатчинсона или уравнение Райта)
   

где и - параметры.

Другие интересные примеры использования ОДУ с запаздывающими аргументами можно найти, например, в книге [5].

Модели, как правило, содержат набор параметров, которые их характеризуют. Эти параметры – неизвестны, определяются в каждом случае отдельно по некоторому массиву наблюдаемых значений (значений, полученных в ходе эксперимента). Для уравнения Маккея-Гласса \* MERGEFORMAT (.), например, параметрами выступают переменные и , а наблюдаемыми значениями – величины концентрации лейкоцитов в моменты времени .

Во многих случаях решение дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) не может быть получено аналитически, а может быть только вычислено приближённо с помощью специальных математических методов (таких, как, например, численное интегрирование). Для таких уравнений задача оценки параметров по экспериментальным данным усложняется, так как в явном виде нет самой функции, для которой эти данные были получены. Так для метода наименьших квадратов (являющимся базовым методом оценки параметров по выборочным данным), невозможно построить функцию цели

\* MERGEFORMAT (.)

оптимизационной задачи

ввиду отсутствия в явном виде.

В настоящей работе исследована задача оценивания параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами, не разрешимыми аналитически, а также разработан и реализован численный алгоритм её решения.

Цели дипломной работы:

1. 
   Разработать быстрый и эффективный¹ алгоритм для решения задачи оценки параметров ОДУ с запаздывающими аргументами, не разрешаемых аналитически.
   
2. 
   Реализовать алгоритм в виде библиотеки на языке программирования MATLAB, а также программы с графическим интерфейсом пользователя
   
3. 
   Апробировать полученное решение на некоторых реальных примерах.