Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии

неопределенных
коэффициентов
Пусть необходимо вычислить первую производную функции f (x), заданной таблицей, в некоторой точке x = x
U
, причем x
0
< x
U
< x
n
Представим значение искомой производной в интересующей нас точке x
U
следующей суммой:
f
′(x
U
) =
∑
=
n
i
i
i
y
c
0
+ R,
(9.27)

145 где величина R называется остаточным членом, а коэффициенты c
i

(i= 0, 1, ... , n) пока являются неопределенными.
Для нахождения коэффициентов c
i

(i = 0, 1, ... , n) положим, что остаточный член точно равен нулю, если дифференцируемая функция f
(x) является степенной с показателем степени j = 0, 1, …, n:
f
(x) = 1, x , x
2
, …, x
n

(9.28)
Вычислим первые производные всех функций (9.28) в точке x = x
U
и подставим в равенство (9.27), полагая R = 0. Суммы в правых частях выражений (9.27) запишем, используя явный вид функций (9.28). В результате получим следующую систему из (n + 1) уравнений:
∑
=
n
i
i
c
0
= 0,
∑
=
n
i
i
i
x
c
0
= 1,
∑
=
n
i
i
i
x
c
0 2
= 2 x
U
,
∑
=
n
i
i
i
x
c
0 3
= 3 2
U
x

, … ,
∑
=
n
i
n
i
i
x
c
0
= n
1
−
n
U
x
(9.29)
Система уравнений (9.29) является линейной относительно неизвестных (n + 1) коэффициентов c
i

(i = 0, 1, ... , n). Решив систему
(9.29) одним из методов, описанных в главе 4, получим искомое приближенное значение первой производной в точке x = x
U
Аналогично можно с помощью неопределенных коэффициентов построить алгоритм вычисления второй производной при тех же исходных данных x
i
, y
i
(i = 0, 1, ... , n). Для этого значение искомой второй производной f
′(x
U
) сначала тоже представляется суммой (9.27).
Численные значения коэффициентов c
i

(i = 0, 1, ... , n) находятся приравниванием нулю остаточного члена R для функций (9.28). Для вычисления искомых коэффициентов получается система из (n + 1) линейных уравнений:
∑
=
n
i
i
c
0
= 0,
∑
=
n
i
i
i
x
c
0
= 0,
∑
=
n
i
i
i
x
c
0 2
= 2,
∑
=
n
i
i
i
x
c
0 3
= 6 x
U
,

146
∑
=
n
i
i
i
x
c
0 4
= 12 2
U
x

, … ,
∑
=
n
i
n
i
i
x
c
0
= n (n – 1)
2
−
n
U
x
(9.30)
После получения коэффициентов c
i

(i = 0, 1, ... , n) из системы (9.30) приближенное значение второй производной вычисляется в виде суммы:
f
′′(x
U
)
≈
∑
=
n
i
i
i
y
c
0

Вышеизложенный метод можно распространить на вычисление производной k-го порядка. В этом случае линейная система уравнений для расчета коэффициентов c
i

(i = 0, 1, ... , n) записывается в следующем общем виде:
∑
=
n
i
i
c
0
= 0,
∑
=
n
i
i
i
x
c
0
= 0, … ,
∑
=
−
n
i
k
i
i
x
c
0 1
= 0,
∑
=
n
i
k
i
i
x
c
0
= k!,
∑
=
+
n
i
k
i
i
x
c
0 1
= (k + 1)! x
U
, … ,
(9.31)
∑
=
n
i
n
i
i
x
c
0
= n (n – 1) … (n – k + 1)
k
n
U
x
−
.

Пример 3. Функция задана значениями в пяти неравноотстоящих уздах, которые сведены в таблицу 9.3.
Таблица 9.3
i
0 1
2 3
4
x
i

0,1 0,3 0,4 0,7 1,2
y
i

3,6 64 5,4 66 6,6 77 12,
17 33,
07

147
Вычислим первую производную в точке x
U
= 0,5. Для нахождения коэффициентов c
i

(i = 0, 1, ... , 4) суммы (9.27) вычислим матрицу коэффициентов системы (9.29)
A =
















0736
,
2 2401
,
0 0256
,
0 0081
,
0 0001
,
0 728
,
1 343
,
0 064
,
0 027
,
0 001
,
0 44
,
1 49
,
0 16
,
0 09
,
0 01
,
0 2
,
1 7
,
0 4
,
0 3
,
0 1
,
0 1
1 1
1 1
(9.32) и столбец свободных членов
b =
















5
,
0 75
,
0 1
1 0

(9.33)
Решение системы линейных уравнений A c = b методом Гаусса (см. главу 4) дает набор искомых коэффициентов: c
0
= 0,606; c
1
=
−4,722;
c
2
= 1,667; c
3
= 2,5; c
4
=
−0,0505. Первая производная в заданной точке вычисляется с помощью суммы (9.27):
f
′(x

= 0,5)
≈
∑
=
n
i
i
i
y
c
0
= 16,3.

(9.34)
Теперь вычислим вторую производную той же функции, заданной таблицей 9.3, тоже в точке x
U
= 0,5. Сравнивая системы уравнений (9.29) и (9.30), замечаем, что они имеют одинаковые матрицы коэффициентов при неизвестных. Легко убедиться, что столбец свободных членов для системы (9.30) имеет вид:

148
b
2
=
















3 3
2 0
0

(9.35)
Решением системы линейных уравнений (9.30) получаем коэффициенты для расчета второй производной: c
0
=
−5,556; c
1
= 75; c
2
=
−88,89; c
3
= 19,44; c
4
= 0. Затем вычисляем искомое значение: f
′′(x

= 0,5)
≈32,7.
Данный пример служит не только для демонстрации численного дифференцирования методом неопределенных коэффициентов, но и позволяет оценить точность этого метода. В таблице 9.3 были записаны значения функции f
′(x)

= 3exp(2x). Аналитическое вычисление первой и второй производной в точке x

= 0,5 показывает, что численный расчет
f
′(x

= 0,5) дает 3 верные значащие цифры, а погрешность величины
f
′′(x

= 0,5) не превышает 0,003. Такую точность следует признать весьма удовлетворительной, так как таблица исходных данных содержала только 5 узлов, а значения функции y
i
были заданы лишь с четырьмя значащими цифрами.

149
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Для практической реализации численных методов к настоящему времени разработано обширное программное обеспечение. Широко применяются такие стандартные пакеты, как Microsoft Excel, Microcal
Origin, Mathematica, MathCad, Maple, Matlab и т.д. Почти ежегодно на потребительском рынке появляются обновленные версии этих пакетов.
Все современные программные средства содержат встроенную систему помощи. Может быть, следует просто открыть какой-либо пакет, реализующий численные методы, и, иногда пользуясь закладкой Help, выбрать метод и проделать надлежащие вычисления? По данному вопросу у авторов есть следующие замечания.
1. Как правило, стандартный программный пакет реализует те алгоритмы, которые сочли нужным применить сами разработчики.
Далеко не все пакеты дают пользователю возможность выбирать конкретный численный метод и оценить достоверность и точность полученного результата.
2. Зачастую система помощи построена весьма лаконично. Опыт показывает, что эффективно использовать встроенную систему помощи могут лишь опытные пользователи, уже достаточно овладевшие теорией численных методов. Кроме того, как уже упоминалось в главе 2, насущной является проблема различий в российской и зарубежной терминологии численных методов.
Таким образом, совершенно не отрицая полезности существующих программных средств, авторы глубоко убеждены, что пользователь, применяя тот или иной встроенный в пакет метод, должен четко представлять себе его суть и иметь возможность контролировать точность реализации выбранного метода для каждой конкретной задачи.
В ином случае пользователю следует самому реализовывать численные методы программным путем. Такие грамотные действия возможно предпринимать лишь вооружившись теоретическими знаниями по численным методам. Предлагаемое учебное пособие должно помочь читателям в решении этой задачи.

150
Приложение 1
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Квадратичной формой n аргументов x
i
(i = 1, 2, ..., n) называется однородный полином 2-й степени следующего вида
U
(x
1
, x
2
, … , x
n
) =
∑∑
=
=
n
i
n
j
j
i
ij
x
x
a
1 1
,
(I.1) где a
ij
− элементы некоторой квадратной матрицы А.
Эта матрица называется соответствующей квадратичной форме
(I.1). Матрица А является симметричной, т.е. совпадает со своей транспонированной А
′′′′, т.е. a
ij
= a
ji
Квадратичная форма (I.1) называется положительно определенной, если она принимает положительные значения при любых значениях аргументов x
i
(i = 1, 2, ..., n) за исключением точки x
1
= x
2
= … = x
n
= 0, где величина (I.1) равна нулю.
Аналогично, квадратичная форма (I.1) называется отрицательно
определенной, если она принимает отрицательные значения при любых значениях аргументов x
i
(i = 1, 2, ... n) за исключением точки x
1
= x
2
= …
= x
n
= 0.

151
Приложение 2
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Полиномы Лежандра являются специальными функциями, которые применяются при решении многих теоретических и прикладных задач.
Полином Лежандра n-й степени можно определить с помощью производной n-го порядка следующим образом:
P
n
(z) =
!
2 1
n
n
n
n
dx
d
[(z
2
– 1)
n
] ,
n
= 0, 1, 2,… ,
(II.1) где z – комплексная переменная.
В данном учебном пособии рассматриваются и используются полиномы Лежандра для действительного аргумента x, лежащего в интервале x
∈[–1, 1].
С помощью определения (II.1) легко получить явные выражения полиномов Лежандра действительного аргумента низших степеней:
P
0
(x) = 1,
P
1
(x) = x,
P
2
(x) = (3x
2
– 1) / 2,
(II.2)
P
3
(x) = (5x
3
– 3x) / 2, P
4
(x) = (35x
4
– 30x
2
+ 3) / 8, …
Графики перечисленных полиномов приведены на рис.1.
Все полиномы Лежандра P
n
(x) имеют следующие граничные значения:
P
n
(1) = 1,
P
n
(–1) = (–1)
n

(II.3)
Нетрудно убедиться, что полиномы Лежандра четной степени являются четными функциями и наоборот.
Важным для практических применений является свойство ортогональности полиномов Лежандра:
∫
−
1 1
)
(
)
(
dx
x
Q
x
P
k
n
= 0,

(II.4) где Q
k
(x) – любой полином степени k, меньшей n (k < n).
Полиномы Лежандра подчиняются рекуррентному соотношению

152
(n + 1) P
n
+1
(x) = (2n + 1) x P
n
(x)
− n P
n
−1
(x),
(II.5) которое, в частности, удобно для последовательного вычисления полиномы высоких степеней.
-
1
-
0.5 0.5 1
x
-
1
-
0.5 0.5 1
y
а
-
1
-
0.5 0.5 1
x
-
1
-
0.5 0.5 1
y
б
Рис.1. Графики полиномов Лежандра а) n = 0, 1, 2, б) n = 3, 4.
P
0
(x)
P
1
(x)
P
2
(x)
P
4
(x)
P
3
(x)

153
Приложение 3
ПАРАМЕТРЫ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
ГАУССА
n
i
Узлы t
i
Коэффициенты A
i
2 1 ; 2 m
0,57735027 1
3 1 ; 3 2 m
0,77459667 0
0,55555556 0,88888889 4
1 ; 4 2 ; 3 m
0,86113631 m
0,33998104 0,34785484 0,65214516 5
1 ; 5 2 ; 4 3 m
0,90617985 m
0,53846931 0
0,23692688 0,47862868 0,56888889 6
1 ; 6 2 ; 5 3 ; 4 m
0,93246951 m
0,66120939 m
0,23861919 0,17132450 0,36076158 0,46791394 7
1 ; 7 2 ; 6 3 ; 5 4 m
0,94910791 m
0,74153119 m
0,40584515 0
0,12948496 0,27970540 0,38183006 0,41795918 8
1 ; 8 2 ; 7 3 ; 6 4 ; 5 m
0,96028986 m
0,79666648 m
0,52553242 m
0,18343464 0,10122854 0,22238104 0,31370664 0,36268378

154
Приложение 4
КРАТКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИСТОЧНИКАХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В главах данного пособия неоднократно обсуждалась методика оценок погрешностей, возникающих вследствие использования рассматриваемых численных методов. Стремление к максимальному увеличению точности метода является естественным движением души любого начинающего исследователя.
Однако прежде чем предпринимать незаурядные усилия по уменьшению погрешностей вычислений, необходимо вспомнить, что применение численного метода является лишь частью решаемой физической задачи. Поэтому вначале следует рассмотреть различные причины, влияющие на окончательный результат проводимого исследования.
Погрешности результата, полученного в ходе решения задачи, можно подразделить по причинам их возникновения.
Эта классификация не является догмой, но полезна для уяснения общей ситуации с оценкой точности и надежности результата.
1. Погрешности в исходных данных задачи.
2.
Погрешность, вызванная приближениями выбранной математической модели.
3. Погрешность используемого численного метода.
4. Погрешность, которая накапливается в ходе компьютерных вычислений.
Рассмотренные в данной книге погрешности относятся к третьему типу, но на точность конечного результата существенно влияют и другие причины.
Каждая из погрешностей уменьшает точность результата, но стремиться неограниченно уменьшать все погрешности нерационально и даже невозможно. Дело в том, что некоторые из погрешностей по своей природе являются «неустранимыми». Это значит, что в условиях решения данной реальной задачи не имеется возможностей их уменьшить. Например, такими часто являются погрешности первого типа.
Другие погрешности можно уменьшить, но нет смысла делать их много меньше неустранимых, особенно если это требует значительных временных или энергетических затрат.
Источниками погрешностей первого типа часто являются физические измерения. Погрешности этого типа вызываются не только

155 недостатком информации об исходных данных, но и использованием округленных значений констант, например таких иррациональных чисел, как
π или е (основание натуральных логарифмов).
Погрешности второго типа неизбежны потому, что любое описание физического процесса является приближенным. Например, полагая силу сопротивления аэродинамической
(пропорциональной квадрату скорости) или стоксовой (пропорциональной скорости), мы делаем приближение и закладываем погрешность в результат.
Аналитические методы являются в принципе точными. Численные методы для получения точного результата часто требуют бесконечного количества итераций или суммирования бесконечного числа слагаемых.
На практике, разумеется, всегда используется конечное количество шагов численного метода, и тем самым обеспечивается погрешность, которая в нашей классификации отнесена к третьему типу.
Любой компьютер обрабатывает коды конечной длины. Количество разрядов машинного слова обусловливает погрешность округления.
Относительная погрешность округления составляет 0,5
⋅10
−
t
, где t – число разрядов. Эта величина кажется маленькой, но при миллионах математических операций, выполняемых процессором, окончательная погрешность вычислений (погрешность четвертого типа) может достигнуть значительной величины. Часто возникают следующие ситуации. Точность численного метода возрастает с ростом числа шагов, но на практике при прогоне тестовых задач наблюдается увеличение ошибки результата после некоторого количества итераций.
Эта погрешность может возрастать, например, при машинном округлении разности близких величин или при делении на очень маленькое число. О вычислительных погрешностях имеется обширная специальная литература. Из прилагаемого списка можно рекомендовать
[5, 9].
Перед получением окончательного результата необходимо оценить, хотя бы по порядку величины, все погрешности, которые могут возникнуть при решении поставленной задачи. Нет смысла тратить компьютерное время, уменьшая погрешность метода, если велика неустранимая погрешность исходных данных. В литературе описан случай, когда один специалист написал программу, реализующую сложный численный метод, который должен был обеспечить высокую точность, но в исходных данных заложил число
π равным 3,14.

156
ЛИТЕРАТУРА
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
М.: ФМ, 1963.
2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: ФМ, 1964.
3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз,
1966.
4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.
5. Каханер Д. и др. Численные методы и программное обеспечение.
М.: Мир, 1998.
6. Форсайт
Дж. и др. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.
7. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977.
8. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: ФМ, 1982.
9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
М.: Бином, 2003.
10. Данилина Н.И. и др. Численные методы. М.: ВШ, 1976.
11. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам.
М.: ВШ, 1979.
12. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
13. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М.: ФМ,
2000.
14. Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике. М.: Гелиос
АРВ, 2004.
15. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992.
16. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.
17. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

157
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 2
Глава 1. Конечные разности. 6
Глава 2. Интерполяция полиномами. 12
§ 2.1. Постановка проблемы интерполяции. 12
§ 2.2. Интерполяционный полином Лагранжа. 14
§ 2.3. Интерполяция по равноотстоящим узлам. 18
§ 2.4. Сплайн-интерполяция. 28
§ 2.5. Погрешность интерполяционных формул. 35
Глава 3. Аппроксимация данных. 41
§ 3.1. Проблема аппроксимации. 41
§ 3.2. Метод наименьших квадратов. 44
§ 3.3. Аппроксимация алгебраическими полиномами. 46
§ 3.4. Аппроксимация суммами Фурье. 51
§ 3.5. О нелинейной аппроксимации 56
Глава 4. Решение систем линейных уравнений. 59
§ 4.1. Системы линейных уравнений. 59
§ 4.2. Метод Крамера. 61
§ 4.3. Метод Гаусса. 63
§ 4.4. Уточнение корней и число обусловленности. 68
§ 4.5. Итерационные методы. 74
Глава 5. Вычисление определителей. 84
Глава 6. Обращение матриц. 90
Глава 7. Решение нелинейных уравнений. 100
§ 7.1. Выделение корней. 100
§ 7.2. Метод половинного деления. 103
§ 7.3. Метод Ньютона. 105
§ 7.4. Метод секущих. 108
Глава 8. Численное интегрирование. 113
§ 8.1. Принцип построения квадратурных формул. 113
§ 8.2. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса. 117
§ 8.3. Квадратурная формула Гаусса. 123
§ 8.4. Погрешности квадратурных формул. 128
Глава 9. Численное дифференцирование. 133
§ 9.1. Дифференцирование интерполяционных полиномов. 133
§ 9.2. Использование разложения в ряд Тейлора. 138
§ 9.3. Численное дифференцирование при произвольном

158 расположении узлов. 144
Послесловие. 149
Приложения. 150
Литература. 156

Каталог: books -> met files
met files -> Учебно-методическое пособие предназначено для студентов института биологии и биомедицины, специализирующихся на кафедре молекулярной биологии и биомедицины, обучающихся по направление подготовки: 06. 03
met files -> Л. В. Ошевенский, врач высшей категории
met files -> Н. И. Лобачевского О. Ю. Ангелова Е. М. Дмитриева маркетинг. Рабочая тетрадь учебно-методическое пособие
met files -> Методические указания Курс: Физиология человека и животных Раздел: Функциональные системы Нижний Новгород 2007
met files -> А. А. Пономаренко в настоящем пособии изложены методы оказания первой доврачебной помощи на месте происшествия. Приведены основы и принципы базовых реанимационных мероприятий. Приведены алгоритмы действий на месте прои
met files -> Председатель методической комиссии биологического факультета ннгу, д п. н
met files -> Физиология эмоций
met files -> Интерактивные формы и методы обучения в высшей школе
met files -> Учебная дисциплина: Методы анализа документов в социологии Специальности, направления: Социология 040201, Социальная работа 040101 Нижний Новгород 2010