Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии

42 напряжениях U
i
(i = 1, … , n). Измеренные значения содержат случайные погрешности.
2. Затухающие колебания математического маятника. Из теории известно, что амплитуда A уменьшается со временем t по экспоненциальному закону
A
= A
0
exp(
− k t ).
Коэффициент затухания k неизвестен. Для его вычисления были проведены n измерений амплитуды A
i
в моменты времени t
i
(i = 1, … ,
n
).
В вышеприведенных примерах задача свелась к необходимости вычисления числового параметра.
Опыт показывает, что имея n точек экспериментальных данных x
i
, y
i
(i = 1, … , n) и зная класс, которому принадлежит функция f(x), как правило, невозможно подобрать параметр функции так, чтобы график функции f(x) точно прошел через все экспериментальные точки.
Например, из практики известно, что при исследовании омического проводника n пар измеренных значений тока и напряжения не ложатся строго на прямую линию с каким-либо углом наклона. Это объясняется тем, что измеренные значения содержат погрешности, как было уже указано в (3.1). Следовательно, приближение исследуемой функции при наличии погрешностей исходных данных не требует строгого выполнения условий (2.1).
Задача аппроксимации ставится следующим образом. Даны n пар значений аргумента и функции: x
i
, y
i
(i = 1, … , n), полученных, как правило, в эксперименте. Кроме того, из теории известен общий вид функции
y = f
(x, A, B, C, …),
(3.2) которая связывает исследуемые переменные величины x и y. Функция
(3.2) содержит конечное число неизвестных постоянных параметров A,
B, C,
… . Требуется определить эти численные значения, тогда функция
(3.2) будет искомым приближением исследуемой зависимости переменных величин x и y. Зная явный вид такой функции, можно вычислять ее значения для любых аргументов, в т.ч. для x
∉ x
i
(i = 1, … ,
n
).
Для вычисления параметров функции A, B, C, … должны использоваться экспериментальные данные x
i
, y
i
(i = 1, … , n). Так как результаты измерений обязательно содержат погрешности, то

43 рассчитанные значения параметров функции A, B, C, … будут обязательно приближенными.
Такая функция вида (3.2), содержащая приближенные значения параметров A, B, C, … , полученных с помощью экспериментальных данных x
i
, y
i
(i = 1, … , n), называется аппроксимирующей или аппроксимантом
Методы получения аппроксимирующих функций называются аппроксимацией.
Задачи аппроксимации возникают, например, в ситуациях, когда теория устанавливает вид функциональной зависимости между исследуемыми величинами x и y, но не в состоянии априори получить значения параметров этой функции.
Тогда проводятся экспериментальные исследования зависимости величин x и y, и с помощью n пар измеренных значений x
i
, y
i
(i = 1, … , n) вычисляются искомые параметры аппроксимирующей функции. Для второго из вышеприведенных примеров теория дает экспоненциальное затухание амплитуды с течением времени, но теоретический расчет коэффициента затухания для конкретной колебательной системы может быть весьма сложным и даже практически невозможным. Гораздо проще провести эксперимент и измерить значения уменьшающейся амплитуды. Ниже будет приведен простой метод вычисления коэффициента затухания по данным измерений.
Полученные приближенные значения параметров означают, что методы аппроксимации дают нам не истинную функцию y = f (x), связывающую исследуемые физические величины x и y, а некоторое ее приближение. Следовательно, проблема аппроксимации сводится к методике нахождения значений параметров A, B, C, …, которые обеспечивают «наилучшее» приближение аппроксимирующей функции к истинной зависимости. Критерий «наилучшего» приближения базируется на минимизации отклонений значений построенной функции
f
(x
i
,
A, B, C,…) в узлах x
i

от соответствующих чисел y
i
В качестве возможной оценки качества аппроксимации можно взять максимальное значение из модулей разностей
n
i
,...,
1
max
=
| f (x
i
,
A, B, C,…)
−
y
i
|.
Можно в качестве критерия «наилучшего» приближения выбрать среднее арифметическое абсолютных значений отклонений
|f (x
i
,
A, B,

44
C
,…)
− y
i
| или среднеквадратичное отклонение. Критерий, наиболее широко используемый для построения аппроксимантов, излагается ниже в данной главе.
Подчеркнем еще раз различие между задачами интерполяции и аппроксимации. Интерполянт должен удовлетворять условию (2.1), а его график
− проходить через все точки исходных данных, сведенных в таблицу 2.1. Для аппроксиманта требование (2.1) не обязательно, но должен выполнятся критерий наилучшего приближения, описанный в следующем параграфе.

§ 3.2. Метод наименьших квадратов
На практике, как правило, уменьшение отклонения
y
i

− f(x
i
, A, B,
C
,…)
 для определенного i-го узла сопровождается увеличением для другого. Практически никогда не удается уменьшить до нуля все абсолютные значения разностей
f (x
i
,
A, B, C,…)
−
y
i
. Поэтому при построении аппроксиманта вначале необходимо однозначно сформулировать критерий наилучшего приближения аппроксимирующей функции к экспериментальным данным x
i

, y
i
(i =
1,..., n).
В теории численных методов используются различные критерии аппроксимации. Например, хорошо разработана методика так называемого равномерного приближения ортогональными функциями.
Но наибольшее распространение в практике получил подход, называемый методом наименьших квадратов.
После выбора класса аппроксимирующей функции f(x
i
, A, B, C,…), которая содержит один или несколько параметров A, B, C, …, строится сумма следующего вида:
Q
=
[
]
∑
=
−
n
i
i
i
y
C
B
A
x
f
1 2
,...)
,
,
,
(
,

(3.3) где суммирование проводится по всем индексам i = 1, ... n, т.е. по номерам пар исходных данных (измеренных значений) x
i
, y
i
Искомыми значениями параметров A, B, C, … полагаются числа, которые обеспечивают минимум суммы Q. Численное значение величины Q существенно зависит от параметров A, B, C, … . Изменяя

45 величины параметров A, B, C, … можно добиться уменьшения суммы до ее минимально возможного значения. Следовательно, на этапе поиска минимизирующих значений параметров A, B, C, … сумма Q рассматривается как функция переменных A, B, C, … . Исходные данные x
i
, y
i
(i = 1,..., n) являются, естественно, постоянными числами.
Согласно известной теореме математического анализа, необходимым условием экстремума функции нескольких аргументов является равенство нулю первых частных производных по всем аргументам.
Следовательно, необходимо приравнять нулю выражения частных производных величины Q:
A
Q
∂
∂
= 0,
B
Q
∂
∂
= 0,
C
Q
∂
∂
= 0, … .
(3.4)
При этом мы получаем систему уравнений для нахождения искомых значений параметров А, В, C, … . Важно, что количество уравнений равно количеству неизвестных. В некоторых случаях, например если аппроксимирующей функцией является полином с действительными коэффициентами, решение системы (3.4) не представляет принципиальных трудностей (см. следующий параграф). Напротив, иногда вид аппроксимирующей функции таков, что уравнения (3.4) оказываются нелинейными и весьма трудными для решения. Таким образом, задача аппроксимации приводит к проблеме решения систем как линейных, так и нелинейных уравнений, чему и посвящены соответствующие главы данного учебного пособия.
Заметим, что уравнения (3.4), строго говоря, являются условиями экстремума, но не обязательно минимума величины Q. Необходимые условия минимума сформулированы в математическом анализе и требуют исследования вторых частных производных функции Q (А, В,
C
, …) по переменным А, В, C, … . Однако из способа построения суммы
(3.3) непосредственно следует, что любое удаление значений аппроксимирующей функции f (x, A, B, C,…) от данных y
i
(i = 1, . . . n) приводит к неограниченному возрастанию величины Q. Поэтому найденный решением уравнений (3.4) экстремум будет искомым минимумом.

46
§ 3.3. Аппроксимация алгебраическими полиномами
Задача вычисления минимизирующих значений параметров A, B, C,
… становится особенно простой, если аппроксимирующая функция выбирается из множества алгебраических полиномов с действительными коэффициентами. В этом случае в выражении (3.3) для суммы Q функция общего вида f (x
i
,
A, B, C,…) заменяется на полином степени m:
P
m
(x) =
∑
=
⋅
m
j
j
j
x
a
0
,

(3.5) где m
≤ n − 1. Напомним, что n – число узлов таблицы исходных данных x
i
, y
i
(i = 1, . . . n).
Теперь задача сводится к вычислению таких коэффициентов полинома
a
j
, которые минимизируют сумму
(3.3) для аппроксимирующей функции вида (3.5):
Q
=
[
]
∑
=
−
n
i
i
i
m
y
x
P
1 2
)
(

(3.6)
Суммирование проводится по индексам i = 1, . . . n , т.е. по номерам пар исходных данных x
i
, y
i
Полином m-й степени содержит m + 1 коэффициентов. Для их нахождения сначала полагают величины a
j
(j = 0, ... , m) переменными.
Чтобы найти минимизирующие значения коэффициентов искомого полинома, необходимо взять первые частные производные от величины
Q
по всем переменным a
j
(j = 0, ... , m) и приравнять их нулю.
Получится система из m + 1 уравнений
k
a
Q
∂
∂
= 0,

(3.7) где k = 0, 1, …, m – номер уравнения.
Полученная система уравнений
(3.7) является линейной относительно неизвестных a
j
− коэффициентов, минимизирующих значение полинома Q. Распишем эту систему в явной форме:

47
k
i
n
i
m
j
j
i
j
i
x
x
a
y
∑
∑
=
=








−
1 0
= 0,
k
= 0, 1, …, m. (3.8)
В системе (3.8) индекс k нумерует уравнение, а индекс j
− номер коэффициента a
j
при аргументе степени j в полиноме (3.5).
Во всех уравнениях системы (3.8) сменим порядок суммирования и преобразуем эту линейную систему к стандартному виду:
∑ ∑
=
=
+








m
j
n
i
k
j
i
j
x
a
0 1
=
[ ]
∑
=
n
i
k
i
i
x
y
1

(3.9)
Вычисление значений коэффициентов a
j
реализуется одним из обычных методов решения систем линейных уравнений, которые рассматриваются в следующей главе.
Аппроксимация данных x
i
, y
i
(i = 1, . . . n) линейной функцией подробно описана во множестве учебников, учебных и методических пособий. Для расчета аппроксимирующего полинома 1-й степени в линейной системе (3.9) следует положить m = 1. Решение полученной системы двух уравнений элементарно, поэтому сразу запишем результат:
P
1
(x)
= a
1
x + a
0
,

(3.10) где
a
1
=
2 1
1 2
1 1
1








−
















−
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
x
x
n
y
x
y
x
n
,

48
a
0
=
2 1
1 2
1 1
1 1
2








−
















−
















∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
x
x
n
y
x
x
y
x
(3.11)
Теперь рассмотрим не менее важный для практики случай, когда в качестве аппроксимирующего полинома используется квадратичная функция. Для этого, прежде всего, положим в полиноме (3.5) степень
m
=2:
P
2
(x)
= a
2
x
2
+ a
1
x + a
0

(3.12)
Аппроксимирующий полином содержит три неопределенных коэффициента. Сумма (3.6) примет следующий вид:
Q
=
[
]
∑
=
−
+
+
n
i
i
i
i
y
a
x
a
x
a
1 2
0 1
2 2

Система (3.7) в этом случае состоит из трех уравнений:
0
a
Q
∂
∂
= 0 ,
1
a
Q
∂
∂
= 0,
2
a
Q
∂
∂
= 0.
Вычислим производные и преобразуем систему к стандартному виду:
a
0
n + a
1
∑
=
n
i
i
x
1
+ a
2
∑
=
n
i
i
x
1 2
=
∑
=
n
i
i
y
1
,
a
0
∑
=
n
i
i
x
1
+ a
1
∑
=
n
i
i
x
1 2
+ a
2
∑
=
n
i
i
x
1 3
=
∑
=
n
i
i
i
y
x
1
,
(3.13)
a
0
∑
=
n
i
i
x
1 2
+ a
1
∑
=
n
i
i
x
1 3
+ a
2
∑
=
n
i
i
x
1 4
=
∑
=
n
i
i
i
y
x
1 2

49
Ввиду малого размера последней системы для ее решения можно использовать метод Крамера (см. главу 4).
Для компактной записи решения полученной системы введем обозначения для семи сумм:
S
X
=
∑
=
n
i
i
x
1
, S
2X
=
∑
=
n
i
i
x
1 2
,
S
3X
=
∑
=
n
i
i
x
1 3
,
S
4X
=
∑
=
n
i
i
x
1 4
,
S
Y
=
∑
=
n
i
i
y
1
, S
XY
=
∑
=
n
i
i
i
y
x
1
, S
2XY
=
∑
=
n
i
i
i
y
x
1 2

Составим 4 детерминанта:
∆
Z
=
X
X
X
X
X
X
X
X
S
S
S
S
S
S
S
S
n
4 3
2 3
2 2
,
∆
0
=
X
X
XY
X
X
XY
X
X
Y
S
S
S
S
S
S
S
S
S
4 3
2 3
2 2
,
∆
1
=
X
XY
X
X
XY
X
X
Y
S
S
S
S
S
S
S
S
n
4 2
2 3
2
,
∆
2
=
XY
X
X
XY
X
X
Y
X
S
S
S
S
S
S
S
S
n
2 3
2 2

Согласно методу Крамера, искомые коэффициенты представляются следующими отношениями детерминантов:
a
0
=
∆
0
/
∆
Z
, a
1
=
∆
1
/
∆
Z
,
a
2
=
∆
2
/
∆
Z

(3.14)
Пример 1. Некоторая функция задана таблицей 3.1, содержащей 10 пар значений x
i

; y
i
(i = 1, ..., 10).

Таблица 3.1


x
i

1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
y
i

0,9 4,2 5,9 7,2 7,6 7,4 6,9 6,2 4,5 2,4
Очевидно, что данная функция y = f (x) является немонотонной.
Построим для нее аппроксимирующий полином 2-й степени вида (3.12).

50
Используя данные таблицы 3.1, вычислим коэффициенты (3.14) этого аппроксимирующего полинома P
2
(x):
a
0
=
− 1,6467 ; a
1
= 3,3136 ; a
2
=
− 0,2924.
График полученного полинома P
2
(x) приведен на рис. 3.1. В тех же осях изображены данные таблицы 3.1 и, для сравнения, график аппроксимирующего полинома 1-й степени P
1
(x), определенный линейной функцией (3.10). Его коэффициенты, рассчитанные по формулам (3.11), равны a
0
= 4,787; a
1
= 0,097.
2 4
6 8
10
x
2 4
6 8
10
y

Рис. 3.1. Аппроксимация данных таблицы 3.1 полиномами.
Точки – исходные данные, сплошная линия
− аппроксимирующий полином 2-й степени, штриховая
− аппроксимирующий полином 1-й степени.
Простейшей оценкой качества аппроксимации является величина Q, рассчитанная по выражению (3.6). Чем ближе располагается график аппроксиманта к точкам исходных данных, тем меньше величина Q.
Для данных таблицы 3.1 и полученного выше полинома P
2
(x) =
−
0,2924x
2
+ 3,3136x
− 1,6467 величина Q = 0,73. Для тех же данных и линейного аппроксиманта P
1
(x) = 0,097 x + 4,787 численное значение Q
=
45,88.
Столь сильное различие величин Q убедительно иллюстрируется графиками на рис. 3.1. Приведенный пример наглядно убеждает, что для приближения немонотонных функций линейная

51 аппроксимация дает очень большую погрешность. Требуется аппроксимация нелинейными функциями.
При использовании аппроксимирующих полиномов степени выше второй решение линейной системы уравнений (3.9) целесообразно реализовать методом Гаусса, который описан в следующей главе.

§ 3.4. Аппроксимация суммами Фурье
Частным, но важным случаем является аппроксимация табличных данных суммами тригонометрических функций с кратными периодами.
Такие функции в математике получили название сумм Фурье.
Аппроксимация суммами Фурье применяется, в частности, в гармоническом анализе при исследовании различных периодических функций. В физике эти суммы используются при исследовании периодических процессов и кристаллических структур.
Пусть, как и в предыдущих задачах аппроксимации, функция задана набором n пар значений
x
i
, y
i
= f (x
i
) ( i = 1, ..., n),

(3.15) причем все узлы x
i

(i = 1, ... n) лежат внутри конечного интервала [a, b] длиной L. С помощью линейного преобразования аргумента точки узлов всегда можно привести к интервалу (0, 2
π). Определим новую переменную
t
= 2
π(x – a)/L
(3.16) и числа x
i

(i = 1, ..., n) по формуле (3.16) пересчитаем в соответствующие значения t
i
. Все новые значения узлов t
i

(i = 1, ..., n) будут принадлежать интервалу (0, 2
π).
Аппроксимирующую функцию выберем в виде суммы Фурье:
T
m
(t) = a
0
+
∑
=
+
m
k
k
k
kt
b
kt
a
1
)]
sin(
)
cos(
[
(3.17)
Количество слагаемых m в сумме (3.17) будем называть степенью или порядком суммы Фурье. Число m можно выбирать произвольным
(конечно, целым) при выполнении условия n
≥ 2m + 1.

52
Найдем значения коэффициентов a
0
, a
k
, b
k
, (k = 1, ..., m) для суммы
Фурье (3.17), дающие наилучшее приближение к табличным данным
(3.15) согласно критерию наименьших квадратов.
Решение поставленной задачи реализуется путем, аналогичным изложенному в предыдущем параграфе. Сначала в функции f (x) проведем замену аргумента согласно (3.16), а затем в выражении (3.3) преобразованную функцию f (t) заменяем на сумму Фурье (3.17).
Будем подбирать такие значения коэффициентов a
0
, a
k
, b
k

(k = 1, ... ,
m
), которые обеспечат минимум суммы Q (3.3). Для этого возьмем от величины Q частные производные по переменным a
0
, a
k
, b
k
(k = 1, ..., m) и приравниваем их к нулю. При этом получается система из 2m + 1 уравнений для 2m + 1 неизвестных коэффициентов суммы (3.17).
Аппроксимирующая функция имеет такой вид, что полученная система уравнений оказывается линейной относительно 2m + 1 искомых величин a
0
, a
k
, b
k
(k = 1, ..., m):
n
a
0
+
∑
=
m
k
1
{a
k
∑
=
n
i
i
kt
1
)
cos(
+ b
k
∑
=
n
i
i
kt
1
)
sin(
} =
∑
=
n
i
i
y
1
,
(3.18)
a
0
∑
=
n
i
i
jt
1
)
cos(
+
∑
=
m
k
1
{a
k
∑
=
n
i
i
i
jt
kt
1
)
cos(
)
cos(
+
+ b
k
∑
=
n
i
i
i
jt
kt
1
)
cos(
)
sin(
} =
∑
=
n
i
i
i
jt
y
1
)
cos(
, j = 1, ..., n, (3.19)
a
0
∑
=
n
i
i
jt
1
)
sin(
+
∑
=
m
k
1
{a
k
∑
=
n
i
i
i
jt
kt
1
)
sin(
)
cos(
+
+ b
k
∑
=
n
i
i
i
jt
kt
1
)
sin(
)
sin(
} =
∑
=
n
i
i
i
jt
y
1
)
sin(
, j = 1, ... , n.
(3.20)
Методы решения систем линейных уравнений изложены в следующей главе, поэтому полагаем, что в принципе поставленная задача решена.

53
Величина a
0
является постоянной составляющей аппроксимирующей функции. Параметры a
k
и b
k

(k = 1, ..., m) представляют собой амплитуды соответственно четных и нечетных гармоник Фурье-суммы.
Вычисленные значения параметров a
0
, a
k
, b
k

(k = 1, ..., m) полностью определяют искомую аппроксимирующую функцию (3.17). Для того чтобы вернуться к первоначальному аргументу x, достаточно использовать линейное преобразование, обратное преобразованию
(3.16):
x
= t L/(2
π) + a.

(3.21)
При этом аппроксимирующая Фурье-сумма может быть записана в следующем виде:
T
m
(x) = a
0
+
(
)
(
)
∑
=
−
π
+
−
π
m
k
k
k
L
a
x
k
b
L
a
x
k
a
1
]
/
)
(
2
sin
/
)
(
2
cos
[
(3.22)
Полученный аппроксимант T(x) является периодической функцией с периодом L, иначе говоря, для любого аргумента x в его области определения выполняется равенство T(x+L) = T(x).
Иногда при исследовании функции f (x) имеется возможность выбрать узлы x
i
(i = 1, ..., n) равноотстоящими. Тогда преобразование
(3.16) даст узлы t
i
(i = 1, ..., n), равноотстоящие на интервале (0, 2
π):
t
i

= i
n
π
2
( i = 1, ..., n).
(3.23)
В этих случаях многие суммы в уравнениях (3.18) – (3.20) зануляются и эта система упрощается. Выражения для искомых коэффициентов можно записать в следующем явном виде:
a
0
=
n
1
∑
=
n
i
i
y
1
,

(3.24)
a
k
=
n
2
∑
=
n
i
i
i
kt
y
1
)
cos(
, k = 1, ..., m,
(3.25)

54

b
k
=
n
2
∑
=
n
i
i
i
kt
y
1
)
sin(
, k = 1, ... m.
(3.26)
Вычисленные значения коэффициентов a
0
, a
k
, b
k

(k = 1, ..., m) подставляются в общее выражение Фурье-аппроксиманта (3.22).
Пример 2. Функция f (x) задана таблицей 3.2, содержащей 10 пар значений x
i
, y
i
(i = 1, ..., 10).


Таблица 3.2


x
i

1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
y
i

1,3 2,8 2,5 1,1
−0,8 −1,9 −1,1 0,9 3,85 0
Проведем аппроксимацию функции f (x) Фурье-суммой вида (3.22) на интервале [0, 10]. Сначала вычислим значения узлов t
i

(i = 1, ..., 10) по формуле (3.16), используя a = 0 и L = 10. Так как в данной задаче узлы равноотстоящие, то коэффициенты
Фурье-аппроксиманта рассчитываются по формулам (3.24) – (3.26). Ограничимся количеством слагаемых Фурье-суммы m = 6. В результате получается a
0
= 0,86, остальные коэффициенты сведены в таблицу 3.3.
Таблица 3.3


k
1 2
3 4
5 6
a
k

1,257
−0,719 −0,577 −0,541
−0,56
−0,541
b
k

1,105
−1,246 −0,551 −0,323 0
0,551
Вычисленные коэффициенты подставляются формулу (3.22) с учетом значений параметров a = 0 и L = 10:
T
m
(x) = a
0
+
(
)
(
)
∑
=
π
+
π
m
k
k
k
kx
b
kx
a
1
]
5
/
sin
5
/
cos
[
(3.27)
На рис. 3.2 приведены графики Фурье-сумм (3.27) для степеней m=2 и m=6.

55
На выбор степени Фурье-аппроксиманта влияют в значительной мере погрешности аппроксимируемых данных x
i
, y
i
(i = 1, ..., n).
Например, может быть, что в примере 2 данные y
i
(i = 1, ..., n) получены с большой погрешностью. Тогда значение y
9
в таблице 3.2 может быть сильно завышено по сравнению с истинной величиной, а значение y
10
, наоборот, занижено. В этом случае исходные данные удовлетворительно аппроксимируются суммой Фурье низкого порядка
m
=2 (см. рис. 3.2).
В противоположном случае, если погрешность полученных значений
y
i
(i = 1, ..., n) мала, то график аппроксиманта должен проходить вблизи точек исходных данных. Для этого степень Фурье-аппроксиманта приходится повышать, что приводит, в свою очередь, к появлению дополнительных перегибов исследуемой функции f (x), достоверность наличия которых приходится обосновывать. В частности, перегибы аппроксиманта степени m =6 в областях около значений x = 1,5; x = 3,5;
x
= 5,5; x=7,5 на рис.3.2 явно не следуют из данных таблицы 3.2. Таким образом, задача выбора степени Фурье-аппроксиманта не может быть однозначно решена, если ограничиваться формальными рамками численных методов.
2 4
6 8
10
x
-
4
-
2 2
4
y

Рис. 3.2. Аппроксимация данных суммой Фурье.
Точки – исходные данные, сплошная линия
− Фурье-аппроксимант c
m
=6, штриховая
− Фурье-аппроксимант c m=2.
Окончательный выбор порядка Фурье-аппроксиманта делается на основе дополнительной информации об исходных данных, прежде всего

56 с помощью теоретических соображений о виде исследуемой функции
f
(x).

§ 3.5. О нелинейной аппроксимации
К нелинейной аппроксимации прибегают в специальных случаях, когда вид нелинейной зависимости y = f (x, A, B, C,…) между двумя физическими величинами x и y надежно установлен, но численные значения постоянных параметров A, B, C,… неизвестны.
Некоторые часто встречающиеся в физике функции сводятся к рассмотренным выше полиномам путем определенного алгебраического преобразования. В частности, зависимость из примера 2 §3.1 логарифмированием превращается в линейную:
ln
(A) = ln(A
0
) – k t.


(3.28)
Пусть в результате эксперимента были получены n значений амплитуд A
i

для значений времени t
i

(i = 1, …, n). Введем обозначения
z
= ln(A) и a = ln(A
0
) и по данным измерений вычислим значения z
i
= ln(A
i
) для всех i = 1,
…, n. Тогда следует рассматривать числа t
i
,
z
i
(i = 1, …, n) как значения аргумента и функции соответственно. По формулам (3.11) легко подсчитать параметры линейного аппроксиманта (3.10), при этом свободным членом будет величина a, угловым коэффициентом – искомый коэффициент затухания k с обратным знаком. Если потребуется получить начальную амплитуду A
0
, то для этого достаточно вычислить A
0
= exp(a).
К сожалению, во многих других случаях метод наименьших квадратов приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений.
Пример 3. Весьма распространенной функцией, описывающей различные физические процессы, является следующая:
y
= A
0
(1
− e
−b x
),

(3.29)

57 где A
0
и b – постоянные параметры.
Пусть числа A
0
и b нам неизвестны, но в нашем распоряжении имеется таблица значений x
i
, y
i
(i = 1, … , n ) вида (3.1). Действуя методом наименьших квадратов, составляем величину Q, согласно (3.3), затем дифференцируем функцию Q (A
0
, b) по переменным A
0
и b, приравниваем частные производные нулю
∂Q / ∂A
0
= 0,
∂Q / ∂b = 0 и получаем уравнения:
A
0
∑
=
−
−
n
i
i
bx
1 2
))
exp(
1
(
–
∑
=
−
−
n
i
i
i
bx
y
1
))
exp(
1
(
= 0,
(3.30)
A
0
∑
=
−
−
−
n
i
i
i
i
bx
x
bx
1
)
exp(
))
exp(
1
(
–
∑
=
−
n
i
i
i
i
bx
y
x
1
)
exp(
= 0.
Выражая величину A
0
из первого уравнения и подставляя ее во второе, получим довольно громоздкое нелинейное уравнение для нахождения неизвестного b
∑
=
−
−
n
i
i
i
bx
y
1
))
exp(
1
(
×
∑
=
−
−
−
n
i
i
i
i
bx
x
bx
1
)
exp(
))
exp(
1
(

–
–
∑
=
−
n
i
i
i
i
bx
y
x
1
)
exp(
×
∑
=
−
−
n
i
i
bx
1 2
))
exp(
1
(

= 0.
(3.31)
После нахождения величины b коэффициент A
0
легко вычисляется из любого уравнения системы (3.30).
Таким образом, нелинейная аппроксимация, как правило, требует применения методов решения нелинейных уравнений, которые рассматриваются в главе 7 настоящего учебного пособия.
Пример 4. Для решения многих прикладных задач используется функция Гаусса, которую можно записать в следующем виде:
y
= A exp














−
−
2
c
b
x

(3.32)

58
Функция (3.32) содержит три постоянных параметра: A, b и c.
Зависимость вида (3.32) используется, например, для анализа различных спектральных характеристик, получаемых экспериментальным путем.
Каждый максимум спектра аппроксимируется функцией вида (3.32).
Параметры A, b и c для каждого максимума имеют определенный физический смысл.
Для вычисления этих параметров используется таблица данных значений x
i
, y
i
(i = 1, … , n) и описанный выше метод наименьших квадратов. В общее выражение (3.3) для величины Q подставляется функциональная зависимость
(3.32).
Читателям предлагается самостоятельно записать явный вид функции Q (A, b, c) для данного примера, составить уравнения
∂Q/∂A = 0, ∂Q/∂b = 0, ∂Q/∂ c = 0 и оценить сложность их решения.
В качестве комментария к главам 2 и 3 отметим особенности современной терминологии. Во многих иностранных учебных пособиях и соответствующих программных пакетах под интерполяцией и аппроксимацией понимается практически одно и то же. Разница заключается в том, что при аппроксимации функция выдается в явном виде, а при интерполяции вычисляется значение функции при аргументе, отличном от узла интерполяции. Для численных методов, рассмотренных в главе 3 данной книги, часто используется термин
«регрессия».
В программах
Origin и
Mathematica для вычисления аппроксимирующей функции применяется процедура под названием Fit, что в буквальном переводе с английского означает «подгонка».
Несмотря на распространение новых программных продуктов, авторы предпочли в этой книге сохранить классическую терминологию, используемую в российских курсах численных методов. Авторы полагают, что читатель, знакомый с алгеброй и основами математического анализа, с помощью настоящего учебного пособия самостоятельно разберется в смысле и назначении предлагаемых численных методов.

59
Глава

Скачать 0.96 Mb.

Поделитесь с Вашими друзьями: