«Зависимость точности расчета зубного протеза от разбиения области расчета»

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет прикладной математики и кибернетики
Кафедра «Механика и математическое моделирование»
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА


На тему:
«Зависимость точности расчета зубного протеза от разбиения области расчета»
Студентка группы №М-93
Кретова Светлана Игоревна
(подпись)
Руководитель ВКР
К.ф. - м.н., доцент Малашкин А. В.
(должность, звание, Ф.И.О.)
(подпись)
Москва, 2014

2
Оглавление
Введение .................................................................................................... 3 1. Постановка задачи о расчете зубного протеза ................................... 7 2. Математическая постановка задачи о расчете зубного протеза ........................................................................................................ 9 3 Характеристики материалов ............................................................... 14 4. Создание модели в программе Patran ............................................... 16 5. Оптимизация модели с помощью согласования отдельных узлов 21 6. Оптимизация модели с помощью поверхностных сеток ................ 26 6.1 Преобразование геометрической модели ................................... 26 6.2 Построение поверхностных сеток для твердых тел .................. 30 6.3 Задание свойств треугольных элементов ................................... 38 6.4 Построение объемной сетки ........................................................ 38 7. Различные варианты длины временных имплантов и глубины их посадки в челюсти ............................................................................. 40 8. Расчеты модели для различных видов нагрузок на протез и импланты .............................................................................................. 52 8.1 Расчет при нагрузке на протез, равной 3 МПа .......................... 52 8.2 Расчеты при приложении усилий к имплантам ......................... 53 9. Анализ результатов ............................................................................. 58
Заключение .............................................................................................. 60
Список литературы ................................................................................. 61

3
Введение
В настоящее время в стоматологии благодаря активному развитию информационных технологий для решения широкого круга научных задач используются методы математического моделирования. Использование таких методов позволяет спрогнозировать и оценить влияние врачебного вмешательства при расчете напряженно-деформированных состояний протезов и аппаратов, а также тканей и органов зубочелюстной системы.
Методы математического моделирования позволяют выявить зоны с повышенным напряжением, которые будут представлять риск развития осложнений при лечении и протезировании [1].
Основная цель использования компьютерного моделирования – выбор наиболее эффективных вариантов лечения в каждом случае, при этом производится оптимизация эксплуатационных характеристик зубочелюстных конструкций. К этим характеристикам относятся запас прочности, ресурс эксплуатации, отсутствие опасных концентраторов напряжений, вес, стоимость конструкции. Кроме того, внешний вид проектируемой зубочелюстной системы должен быть максимально приближен к естественному виду зубов [2].
В настоящее время широко распространены несъёмные мостовые конструкции, а также активно внедряются ажурные высокоэкономичные конструкции промежуточной части для цельнолитых каркасов металлических протезов из благородных сплавов [3].
Одним из определяющих факторов, обеспечивающих успех ортопедического лечения, является характер контактного взаимодействия импланта с костной частью челюсти. При этом возникновение в системе
«имплант–кость» напряжений и деформаций, превышающих уровень функционального напряжения, может вызвать процессы резорбции костной ткани, увеличение подвижности и последующее удаление имплантата [4].

4
Модель «зуб – костная ткань – имплантат – ортопедический протез» представляет собой сложную в геометрическом и физическом отношении систему, расчет которой возможен только численным методом. Наиболее удобным и эффективным является исследование характеристик системы с помощью программных комплексов, направленных на расчет напряженно- деформированного состояния (НДС). Основываясь на результатах, полученных при расчёте НДС, можно формулировать выводы об эффективности восстановления зубных рядов с помощью имплантатов
Математическую основу подобных программных комплексов составляет метод конечных элементов (МКЭ). Этот метод практически не накладывает ограничения на геометрию детали, граничные условия и свойства материала. Главным недостатком МКЭ является быстрый рост потребностей в ресурсах ЭВМ с ростом размерности задачи. Однако в настоящее время этот недостаток не является существенным из-за быстрого прогресса в развитии средств вычислительной техники [5].
3D-моделирование и исследование физико-механических свойств моделей с помощью метода конечных элементов успешно применялось при решении таких задач, как расчёт НДС при резекции корня первого нижнего премоляра и установке имплантата (Смагина Ю. И.), а также при расчёте вероятности разрушения губчатой кости, проведённый при различных нагрузках и степенях замещения периодонта фиброзной тканью
(Радковская Ю. В.)
В настоящее время рынок предоставляемых программных средств достаточно широк (например, ANSYS, NASTRAN, COSMOS/M, ABAQUS и др). Была разработана российская стоматологическая CAD/CAM-система
Optik Dent, позволяющая получать виртуальные модели челюстно-лицевых дефектов, зубов и зубных рядов и автоматического изготовления реставраций из дентальной керамики. Однако, в ней отсутствует модуль расчета прочностных характеристик [6].

5
ANSYS — программная система конечно-элементного анализа, которая существует и развивается на протяжении последних 30 лет. Она довольно популярна среди специалистов в сфере автоматических инженерных расчётов, позволяет решать задачи механики деформируемого твёрдого тела и механики конструкций различной степени нелинейности, стационарные и нестационарные. Также при помощи данной системы можно решать задачи механики жидкости и газа, теплопередачи и теплообмена, электродинамики и другие. Система ANSYS сопрягается с различными CAD-системами, например, с системой SolidWorks.
Cosmos/M также является пакетом конечно-элементного анализа, который позволяет создавать геометрические модели как отдельных деталей, так и сборок. Также система предлагает их конечно-элементное представление, которое позволяет проведение дальнейшего анализа, и современные способы визуализации геометрических объектов и результатов решений. Как и для системы ANSYS, для COSMOS/M предусмотрена нелинейная постановка большинства задач. Cosmos/M является модульной системой, которая функционирует на платформах Windows 95, Windows NT и
UNIX. Насчитывает 10 модулей (GEOSTAR – пре- и постпроцессор, ещё два модуля – вспомогательные, а оставшиеся семь - вычислительные и предназначены для решения разнообразных задач математической физики).
Из модулей компонуются пакеты, которые в зависимости от сложности решаемых задач можно разделить на 3 группы: Basic, Intermediate, Advanced.
Cosmos/M является разработкой компании Structural Research and
Analysis Corporation, которая в настоящее время является подразделением
SolidWorks Corporation. Некоторые из модулей (например, модуль
CosmosWorks) входят в систему SolidWorks.
ABAQUS – программный комплекс, применяющийся при выполнении конечно-элементных расчетов на прочность. Данный комплекс позволяет решать наиболее сложные задачи, как линейные, так и нелинейные.

6
Существует с 1978 года. ABAQUS интегрирован практически со всеми CAD- системами и имеет собственный препостпроцессор ABAQUS/CAE. Комплекс используется в различных областях деятельности, таких как автомобилестроение, авиастроение, оборонная промышленность, электроника, металлургия и другие. Одна из важнейших особенностей комплекса ABAQUS – его универсальность. Этот пакет может использоваться на всех этапах проектирования и создания изделия [7].
Использование подобных программных комплексов имеет ряд преимуществ. К ним можно отнести возможность получения достаточно точной информации о протекающих в механической системе взаимосвязанных биомеханических процессах, а также значительную экономию временных и материальных затрат. Также можно оптимизировать перераспределение жевательной нагрузки в костных тканях челюсти при протезировании. Но при этом использование CAD/CAE-систем довольно затруднительно для практикующего врача-стоматолога, так требует обширных знаний в области математического моделирования [8].

7 1. Постановка задачи о расчете зубного протеза
В стоматологической практике использование зубных имплантов все больше вытесняет традиционное протезирование. Использование имплантов имеет ряд преимуществ: во-первых, нет необходимости подтачивать соседние зубы, чтобы закрепить протез; во-вторых, в отличие от классических зубных протезов, уход за имплантами обычно заключается в простой чистке зубов. Кроме того, классические протезы недостаточно надёжно фиксируются на челюсти у пациентов с полным отсутствием зубов.
Также стоит отметить эстетичность имплантов: они практически неотличимы от естественных зубов (подробнее преимущества и недостатки зубных имплантов рассматриваются в статье [15]).
Будем рассматривать модель, состоящую из фрагмента челюсти, клыка и протеза, крепящегося к челюсти на временных имплантах, между которыми установлены постоянные импланты. Временные импланты – это импланты небольшого размера, тонкие, рассчитанные на небольшой срок функционирования (обычно на срок остеоинтеграции – процесса приживления постоянных имплантов). Они изготавливаются и фиксируются сразу после операции. Геометрическая модель была предоставлена из работ
[13], [14]. Модель разрабатывалась по томографическому снимку в системе
Mimics компании Materialise.
В модели применяются импланты системы ЛИКо, которые изготавливаются из технически чистого титана. Длина временных имплантов
ЛИКо – 10, 13, 16 мм; диаметр – от 1.8 мм (для определения характеристик имплантов обратимся к работе [9]).
Рис. 1. Временные импланты ЛИКо.

8
Расчет зубного протеза производится с помощью программного комплекса NASTRAN (пре- и постпроцессором служит программа PATRAN), геометрия модели полностью импортируется из CAD-системы SolidWorks.
На основе анализа результатов расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) модели «протез - временные импланты – постоянные импланты – челюсть» определяется оптимальная схема установки временных имплантов.
Расчёт модели будем производить методом конечных элементов
(МКЭ).
Вследствие сложности модели, а также из-за существенных различий в размерах элементов для каждого тела автоматическое согласование сеток на границах тел дает недостаточно точный результат (в модели возникают большие перемещения и напряжения по фон Мизесу).
Поскольку на время остеоинтеграции под нагрузкой находятся только временные импланты, наличие в модели постоянных имплантов практически не влияет на распределение напряжений в губчатой кости. Поэтому при оптимизации конечно-элементной сетки будем рассматривать упрощенную модель «протез – временные импланты – челюсть», расчет которой дает достаточно точный результат, но при этом сильно упрощается процесс построения сетки.
Задачей дипломного проекта является выявление зависимости результатов расчета протеза на временных имплантах в зависимости от конечно-элементной сетки, а также оптимизация конечно-элементной сетки.

9
2. Математическая постановка задачи о расчете зубного протеза
Рассмотрим математическую модель «протез – имплант – челюсть».
Эта модель представляет собой сложную в геометрическом и физическом отношении систему, расчет которой возможен только численным методом. Для решения задач, описывающих состояние физических систем сложной структуры, наиболее удобен метод конечных элементов (МКЭ).
«МКЭ заключается в поиске непрерывных функций, имеющих заданную область определения. Рассматриваемая область, занимаемая сплошной средой, разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки. На каждом элементе функция аппроксимируется полиномом, так чтобы на границе элементов аппроксимирующая функция была непрерывна. Коэффициенты полинома выражаются через значения искомой функции в узловых точках, которые и требуется найти» [5, c.7].
В качестве необходимой исходной информации для конечно- элементной модели используются: геометрическая модель конструкции, условия ее закрепления и нагружения, механические свойства материалов конструкции.
Каждая из составных частей модели принимается упругой, изотропной, однородной средой,
где общие биофизические характеристики и геометрические параметры элементов зубного ряда достаточно хорошо изучены.
Полученную область можно рассматривать как локально однородную композитную систему (т.е. сплошную среду, которая состоит из двух и более однородных компонент).
Так как формоизменение в состоянии упругих и малых пластических деформаций при расчетах напряженно–деформированного состояния в

10 костных тканях, как правило, происходит при малых относительных
перемещениях точек сплошной среды, то мы имеем дело с малыми деформациями, при которых выполняется следующее соотношение:

Обозначим:
– компоненты тензора напряжений;
- компоненты тензора деформаций;
– компоненты вектора перемещений.
Пусть изучаемая область биомеханической системы занимает объем V с границей S в декартовой системе координат XYZ в некоторый момент времени t. Предполагается, что
, где – часть граничной поверхности, на которой действуют поверхностные силы;
- часть граничной поверхности, на которой заданы напряжения; и, наконец, на участке границы заданы смешанные граничные условия.
Запишем граничные условия для контура деформируемого тела, приведенные в работе [5]:
1.
На части граничной поверхности :
– вектор поверхностных сил;
;
2.
На части граничной поверхности :
- вектор перемещений;
;
3.
На части граничной поверхности заданы одновременно оба вектора и , т. е.:

11
;
;
Так как мы рассматриваем малые деформации, то соотношение Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и перемещения частиц имеет вид:
;
Выражения для девиаторов напряжений и дефораций:
;
;
Здесь
- шаровые части тензоров напряжений и деформаций соответственно.
называется символом Кронекера, при этом:
;
Существенную роль будут играть также вторые инварианты девиаторов. Квадратные корни из этих инвариантов будем называть модулями девиаторов и обозначать:

12
Здесь
-
интенсивности напряжений и деформаций соответственно.
Для определения механических свойств сплошной среды используем обобщенный закон Гука. Для каждого из изотропных участков локально изотропной среды композитной биомеханической конструкции можно записать:
Здесь первое соотношение отражает векторные (тензорные) свойства сплошной среды. Во втором соотношении функция равна нулю в пределах упругости. За пределами упругости функция равна:

В свою очередь, функция
– универсальная экспериментально определяемая функция. Она характеризует физические свойства материала и не зависит от вида напряженного состояния. Третье соотношение для упругих деформаций является следствием закона Гука. Для пластических деформаций это соотношение – опытный факт, закон теории малых упругопластических деформаций [10], [11].
И, наконец, должны выполняться уравнения равновесия:

13
Таким образом, для каждого изотропного элемента системы должны выполняться:
1.
Граничные условия
2.
Соотношение Коши для малых деформаций
3.
Закон Гука для изотропной среды.
4.
Уравнения равновесия
Искомыми величинами являются три вектора перемещения:
.

14
3. Характеристики материалов
В модели будут использоваться следующие материалы:
1.
Дентин для модели клыка.
2.
Губчатая кость для модели фрагмента челюсти.
3.
Полимеризующаяся пластмасса для протеза.
4.
И, наконец, титан марки Grade 4 для временных имплантов.
Для определения свойств материалов сошлемся на работу [11].
Представим свойства материалов в виде таблицы:
Таблица 1. Механические свойства материалов.
Материал
Модуль
Юнга,
МПа
Коэффициент
Пуассона, б/р
Предел упругости
(сжатие),
МПа
Предел упругости
(растяжение),
МПа
Дентин
14700 0.31 167 55
Губчатая кость
7500 0.45 82 15
Полимеризующаяся пластмасса
2600 0.33 33 30
Титан Grade 4 117000 0.33 280 600

15
Наглядно материалы представлены на рисунке 2:


Рис. 2. Материалы.
Титан Grade 4
Полимеризующаяся пластмасса
Дентин
Губчатая кость

16 4. Создание модели в программе Patran
Patran является интегрирующей средой и графической оболочкой для различных систем конечно-элементного анализа: MD Nastran, MSC Nastran,
Marc, Dytran, Sinda и других. Patran обеспечивает импорт геометрических моделей из CAD-систем, создание расчетных моделей, запуск их на расчет, графическое отображение и обработку полученных результатов.
Patran предоставляет доступ к стандартным геометрическим форматам
(например, Parasolid, ACIS, STEP, IGES и др.), а также к таким популярным в мире "тяжёлым" программным пакетам автоматизированного проектирования, как CATIA v4 и v5, NX, Pro/ENGINEER.
Patran включает в себя обширные функции создания и модификации геометрических моделей, в том числе твердотельное и поверхностное моделирование, а также распознавание отверстий, скруглений и фасок.
Одна из важных особенностей среды Patran - наличие мощного инструментария для создания, редактирования и контроля качества конечно- элементных сеток, с помощью которого можно за относительно короткое время создавать расчетные модели высокого качества. Предоставляются такие возможности, как определение размера элементов сетки как для всей области, так и для отдельных её частей, выбор типа элемента для генерируемой сетки, управление плотностью сетки, включая зависимость ее от кривизны геометрического примитива, определение узлов вручную на границах области, а также автоматическое слияние близких узлов, которое можно применить как ко всей модели, так и к отдельных её частям
(например, по принадлежности к группе, региону или задание списка узлов, участвующих в операции, напрямую).
Существует возможность ассоциативности сетки с точками, кривыми, поверхностями или объемными телами, в том числе, если сетка была создана не на базе этих геометрических примитивов.

17
Кроме того, к преимуществам среды относится генерация конечно- элементных сеток на основе других конечно-элементных сеток, без использования геометрических моделей, а также создание геометрических моделей на КЭ сетках, т.е. операция, обратная созданию КЭ сеток на геометрических моделях.
Patran предоставляет обширный набор возможностей для задания нагрузок, граничных условий, свойств материалов и элементов, параметров расчета, а также для визуализации, обработки и преобразования результатов счета.
Очень важными функциями среды Patran являются функции "Группы",
"Списки", "Суперэлементы", "Области" и др., которые позволяют разбить сложную модель на несколько более простых. Эти функции применяются при расчётах таких сложных моделей, как самолёты, автомобили, а также другие модели, включающие очень большое число конечных элементов, что затрудняет работу сразу со всей моделью [16] .
Таким образом, среда Patran предоставляет обширные возможности для работы с такой сложной моделью, как модель зубочелюстной системы человека .
Создание конечно-элементной модели «протез - временные импланты
– челюсть» с помощью программы Patran состоит из нескольких этапов:
1. Импорт геометрической модели из CAD-системы SolidWorks.
Модель будем импортировать в формате Parasolid (.x_t), при этом в настройках импортирования во вкладке Model Units необходимо указать единицы измерения
– миллиметры.
Мы будем рассматривать геометрическую модель с временными имплантами с длиной внутрикостной части 13 мм и шириной 2 мм.

18
Импортированнная геометрическая модель представлена на рисунке 3.
Рис. 3. Геометрическая модель.
2. Создание материалов.
Нам понадобятся четыре изотропных материала (дентин, губчатая кость, пластмасса и титан). Создаём материалы: вкладка Materials – Create,
Isotropic. При создании материала необходимо указать модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
3. Задание свойств.
Так как модель состоит из семи твердых тел, то во вкладке Properties выбираем Create/3D/Solid. На этом этапе указываем, какой материал применется к каждой части модели.
4. Задание граничных условий и внешних нагрузок.
На торцевые поверхности челюсти накладываем условие жёсткой заделки: вкладка Loads/BCs, Create/Displacement/Nodal, затем во вкладке
Input Data указываем Translations: <0,0,0>, т. е. отсутствие перемещений по каждой из осей X,Y,Z.

19
Далее моделируем действие давления на режущую поверхность клыка и жевательную поверхность протеза. Для этого снова во вкладке Loads/BCs выбираем Create/Pressure/Element Uniform. Задаём значения давления: для клыка – 20 МПа, для протеза – 10 МПа, что примерно равно 2 кг/мм
2
и
1 кг/мм
2
соответственно.
5. Создание конечно-элементной сетки.
Создаём объёмную конечно-элементную сетку для каждого из твердых тел. Поскольку геометрия модели полностью импортирована из системы
SolidWorks, то сетка может задаваться только тетраэдальной.
Создание сетки: вкладка Elements, Create/Mesh/Solid, затем
Tet/TetMesh/Tet4.
После построения сетки на границах вдоль твердых тел могут появиться близкие узлы. Для их склеивания воспользуемся операцией
Equivalence.
Готовая к расчётам модель представлена на рисунке 4.

Каталог: data -> 2014
2014 -> «Реализация национального приоритетного проекта «Здоровье» как часть региональной и социальной политики»
2014 -> Актуальность
2014 -> «Корпоративные практики по поддержке здорового образа жизни и устранению основных факторов риска хронических заболеваний»
2014 -> Программа учебной дисциплины (курс лекций) общая психопатология
2014 -> Разработка маркетинговой стратегии компании на примере ООО «АвтоСпектр нн»
2014 -> Диодные лазеры в медицинской практике
2014 -> Программа «Менеджмент в сми»
2014 -> Программа дисциплины «Социальная история»
2014 -> 1Область применения и нормативные ссылки
2014 -> В последнее время теме мотивации персонала уделяется большое внимание. Теоретики изучают происхождение мотивов и стимулов разного рода, анализируют человеческие потребности и пытаются выстроить их универсальную иерархию