Исследовательская работа Числа Фибоначчи Андреев Денис

МОУ «Основная общеобразовательная школа № 1 имени Бабакина Г.О.»

Исследовательская работа

Руководитель: Майорова А.А.

учитель математики и информатики

г. Новочебоксарск

2009

Содержание
Введение 3

1. Теоретическое обоснование темы 4

1. 
   Определения последовательности чисел и спиралей 4
   
2. 
   Виды спиралей 5
   
   1. 
      Прямолинейные ломанные спирали 5
      
   2. 
      Криволинейные спирали 7
      
3. 
   Числа Фибоначчи 8
   

2.1 Спираль Архимеда 8

2.2 Трёхмерная спираль 9

2.3. Числа Фибоначчи 10

3. Золотая спираль в природе 11

3.1 Золотой прямоугольник 13

3.2 Золотая спираль 14

4. Заключение 15

5. Литература 16

Приложение 1. Трёхмерная спираль 17

Приложение 2. Золотая спираль 18

Приложение 3. Примеры спиралей встречающихся

в природе и технике 19

Введение

 изучить виды спиралей, возможность их построения с помощью числовой последовательности; э

кспериментальное получение спиралей.

Гипотеза исследования:

последовательности чисел можно применять для описания некоторых видов спиралей, что позволяет эффективно подготовиться к изучению понятия «Последовательности» и раздела математики «Аналитическая геометрия».

 В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой были определены частные

1. 
   Изучить литературу по данной теме.
   
2. 
   Изобразить прямолинейные ломанные спирали на треугольной, шестиугольной и квадратной сетках.
   
3. 
   Рассмотреть различные последовательности чисел, которые описывают самопересекающиеся и криволинейные спирали.
   
4. 
   Провести эксперименты по получению спирали Архимеда, трёхмерной спирали.
   
5. 
   Найти примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека.
   

1. 
   Теоретический – аксиоматический метод.
   
2. 
   Эмпирический – эксперимент и сравнение.
   

Например:

1) баллы, которыми учитель оценивает знания ученика, можно представить последовательностью из пяти чисел: 1, 2, 3, 4, 5;

2) средняя скорость приземного ветра (в м/с) в городе Ачинске с 22 по 29 января 2007 года, может быть представлена последовательностью из восьми чисел: 4, 3, 3, 6, 3, 6, 4, 3.

3) средняя скорость ветра (в м/с) по направлениям частей света (С, СВ, В, ЮВ, Ю, ЮЗ, З, СЗ) в городе Новочебоксарск, в июле месяце, можно представить последовательностью из восьми чисел: 2,8; 3; 3,3; 2,8; 3; 3,2; 3,3; 3,1;

4) если считать, что человек бессмертен, то его возраст от рождения можно представить числовой последовательностью: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … .

Любые записанные подряд n чисел (среди которых могут быть и повторяющиеся) образуют числовую последовательность длины n. Ее обозначают а₁, а₂, …, а_n. Т.е. каждое число последовательностей снабжено номером, соответствующим тому месту, которое оно занимает в записи числовой последовательности. Число а_k , записанное на k-м месте, называют k-м членом этой последовательности. Например, на 5-м месте, в примере 2, находится число 3, поэтому а₅ = 3. Число записанное на n-м месте, т.е. а_n, называют обычно общим членом последовательности.

Последовательность чисел занумерованных конечным отрезком (примеры 1, 2, 3) натуральных чисел называется конечной числовой последовательностью, а занумерованных в семи натуральными числами (пример 4) – бесконечной [1].

Бесконечная числовая последовательность считается заданной, если известно правило, по которому для любого n можно найти значение n-го члена последовательности, т.е. если задан ее общий член.

Таким образом, задать последовательность – это значит задать некоторую функцию на множестве натуральных чисел.

Последовательности чисел можно описать с помощью спирали, например 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … Каждое из этих чисел показывает расстояние, проходимое по линии квадратной, треугольной, шестиугольной сетки до очередного поворота; каждый поворот делается против хода часовой стрелки [4].

Спираль – это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от нее, в зависимости от направления обхода кривой [2].

Примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека, даны в Приложении 4.

П
ример 1.

Вид спирали:

Вид спирали:

В
ид спирали:

А что получится, если одну и ту же последовательность чисел изобразить на разных сетках.

П
ример 4. Я взял последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … и изобразил ее на прямоугольной, треугольной и шестиугольной сетках:

а) прямоугольная сетка

б) треугольная сетка

в
) шестиугольная сетка

Я определил сходство и различия построенных изображений:

- три спирали имеют одинаковую числовую последовательность;

- спирали на треугольной и шестиугольной сетках наклонены по отношению к спирали на прямоугольной сетке на 60⁰ против хода часовой стрелки;

- спираль на шестиугольной сетке не состоит из прямых линий, в отличие от спиралей на прямоугольной и треугольной сетках.

• 
  Архимедова спираль (расстояния между витками спирали постоянно и называется шагом);
  

• 
  логарифмическая спираль;
  
  

• 
  спираль Корню;
  

• 
  параболическая спираль;
  

• 
  гиперболическая спираль;
  

• 
  жезл;
  

• 
  si-ci-спираль;
  

• 
  кохлеоида.
  

Один из способов начертить криволинейную спираль – использовать линии компаса или часового циферблата, откладывая от центра по соответствующим направлениям величины, например в миллиметрах [4]. Я использовал эти способы и определил вид полученных спиралей.

3. 
   Числа Фибоначчи
   

Последовательность чисел Фибоначчи была открыта (на самом деле, повторно) Леонардо Фибоначчи де Пиза, математиком тринадцатого века. Когда Эллиотт описывал свою теорию, он, в частности, ссылался на последовательность Фибоначчи, как математическую основу Закона волн [9]. В последовательности Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…, сумма любых чисел, расположенных рядом, дает следующее число.

Если рассмотреть сосновые шишки, цветки подсолнуха, колючки ананаса, то можно увидеть, что у них есть спирали идущие по часовой стрелке и против часовой стрелки. При этом количество спиралей будут соседними числами последовательности Фибоначчи. Например, у ананаса 8 и 13, у подсолнуха 21 и 34, у сосновой шишки 5 и 8.

Решетчатое расположение листьев, семян, лепестков и чешуек многих видов растений называется филлотаксисом. Это свойство я использовал на практике.

Наглядно представить спираль Архимеда можно следующим образом: представим, что по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муха. Траектория движения мухи будет спиралью Архимеда [5].

Для проведения эксперимента я взял цилиндр и закрепил его на листе бумаги, лежащем на столе. Намотал на этот цилиндр нить. На конце этой нити сделал петлю, вставил в нее карандаш и, натягивая нить, смотал ее с цилиндра. Конец карандаша на листе бумаги описал спираль.

Из проведённых экспериментов я выявил, что расстояние между витками зависит от диаметра, с которого сматывается или наматывается нить. Чем меньше диаметр, тем меньше расстояние между витками, а отношение диаметра цилиндра к расстоянию между витками  0,3:

Результаты эксперимента представлены в Приложении 1.

Трехмерную спираль я «сконструировал» следующим образом [6]. Вырезал из бумаги прямоугольный треугольник ( АВС). Взял круговой цилиндр и приклеим к его поверхности треугольник АВС по катету ВС так, чтобы этот катет совпадал с образующей цилиндрической поверхности. Затем обернул бумажным треугольником цилиндр, плотно прижимая бумагу к поверхности цилиндра; при этом гипотенуза АВ превратилась в трехмерную спираль. Возможны два варианта оборачивания треугольника вокруг цилиндра. Один вариант соответствует левой, а другой правой спирали.

Я сконструировал устройство для моделирования расположения листьев (семян, лепестков, чешуек) в растениях [8]. Для этого из плотного листа бумаги свернул трубу, на поверхность которой нанесена вертикальная градусная разметка. По спирали, как показано на рисунке, сделал отверстия, в которые вставил «листья».

На цилиндре из листа формата А3 с сеткой 0,5 см  0,5 см я выявил также три направления спиралей. Их количество 13, 21 и 34. Эти числа опять же являются соседними числами Фибоначчи.

Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. Приводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности.

4. 
   П
   рирода. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35. Спирали очень распространены в природе.
   

(ОБ+ОГ)ОВ+ОА)=…=1.618

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Яйцо птицы

5. 
   Человеческое тело.
   

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга.

Следует отметить, что, узнав о данных пропорциях человеческого тела, мне захотелось лично измерить некоторые из них на практике – большинство результатов совпало с представленными ниже.








3.1 Золотой прямоугольник.
Стороны золотого прямоугольника находятся в пропорции 1.618 к 1. Чтобы построить золотой прямоугольник, нужно начать с квадрата со сторонами в 2 единицы и провести линию от середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны.


Треугольник EDB — прямоугольный. Пифагор, около 550 г. до н. э., доказал, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. В этом случае, следовательно, X2 = 22 + 12, или X2 = 5. Длина гипотенузы ЕВ тогда равна корню квадратному из 5. Следующий шаг в построении золотого прямоугольника заключается в продолжении линии CD до точки G так, чтобы EG равнялась корню квадратному из 5, или 2.236 единиц длины, как показано на рис. 3-5. После завершения построения, стороны прямоугольника будут соотноситься как золотая пропорция, поэтому и прямоугольник AFGC, и BFGD являются золотыми прямоугольниками.

Произведения в искусстве значительно улучшены с использованием знания золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т. Е. во всех важных периодах цивилизации. Леонардо да Винчи придавал огромное значение золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: «Если предмет не имеет правильного облика, он не работает». Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность.

В то время как пропорция фи использовалась сознательно и продумано художниками и архитекторами по своим собственным причинам, она, очевидно, действительно оказывает влияние на обозревателей таких форм. Экспериментаторы определили, что люди находят соотношение 0.618 эстетически приятным. Например, людей просили выбрать один прямоугольник из группы прямоугольников различных типов, и средний выбор в основном был близок к форме золотого прямоугольника. Когда просили пересечь одну полоску другой так, как им больше нравится, люди в основном применяли одну полоску для деления другой в соотношении фи. Окна, рамы картин, здания и книги часто приблизительно соответствуют золотому прямоугольнику.

В то время как Золотое сечение и Золотой прямоугольник представляют статические формы естественной и сотворенной человеком красоты и деятельности, представление эстетически привлекательного динамизма, организованного движения роста и развития может быть выполнено только самой прекрасной формой во Вселенной — Золотой спиралью.

Золотой прямоугольник можно использовать для построения золотой спирали. Любой золотой прямоугольник, как на рисунке, приведённом ниже, можно разделить на квадрат и меньший золотой прямоугольник, как показано на рисунке. Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности. Эти получающиеся прямоугольники, которые мы нарисовали и которые, как оказалось, скручиваются внутрь, промаркированы A, B, C, D, E, F и G.

Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и точно обозначают теоретический центр скручивающихся квадратов. Приблизительно из центральной точки мы можем начертить спираль, соединяя точки пересечения каждого скручивающегося квадрата в порядке возрастания размера. Так как квадраты скручиваются внутрь и наружу, их точки соединения выписывают золотую спираль. Для построения золотой спирали может применяться такой же процесс, но с использованием скручивающихся треугольников.

Паук Epeira прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали. Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Сосновые шишки, морские коньки, раковины улиток, раковины моллюсков, волны океана, папоротники, рога животных и расположение семян подсолнуха и маргаритки — все они образуют логарифмические спирали.

Облака циклона и галактики открытого космоса скручиваются в логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в золотой пропорции, принимает спиральную форму умирающего листа, когда сжимается. Таким образом, золотая спираль развертывается перед нами в символической форме, как один из величественных замыслов природы, образ жизни в бесконечном расширении и сжатии, статический закон, управляющий динамическим процессом, подкрепленный и изнутри, и снаружи пропорцией 1.618, Золотым сечением.

1. 
   Изучена литература по данной теме.
   
2. 
   Изображены прямолинейные спирали на треугольной, шестиугольной и квадратной сетках.
   
3. 
   Рассмотрены различные последовательности чисел, которые описывают самопересекающиеся и криволинейные спирали.
   
4. 
   Найдены примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека.
   
5. 
   Проведены эксперименты по получению спирали Архимеда и трёхмерных спиралей.
   

1. 
   Алгебра: учеб. для учащихся 9 кл. с углубл. Изучением математики / [Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев]; под ред. Н.Я. Виленкина. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2005.–367с.
   
2. 
   Виноградов И.М. Аналитическая геометрия.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 176 с.
   
3. 
   Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1969. – 272 с.
   
4. 
   Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь. – М.: Педагогика, 1987. – 47 с.
   
5. 
   Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1984. – 160 с.
   
6. 
   Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир.- М.: Просвещение, 1982. – 176 с.
   
7. 
   Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. – 4-е изд., испр. И доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 432 с.
   
8. 
   Щетников А.И. Проблема филлотаксиса. /Математическое образование/ - 22 с.
   
9. 
   Энциклопедия для детей. Е. 11. Математика / Глав. Ред. М.Аксенова; метод. и отв. ред. В.Володин. – М.: Аванта+, 2004. – 688 с.
   

Компьютерная модель золотой спирали.

рога горного барана,

усики растений,

винт-пропеллер,

винтовая лестница, детские игровые комплексы и др.