Геометрия Лобачевского

Тема работы: Геометрия Лобачевского

Автор: Дрок Анна

Ученица 11¹ класса лицей № 384

Руководитель: Файвушкин Илья Борисович

Геометрия Лобачевского не входит в школьную программу, поэтому первое знакомство с ней вызвало у меня большой интерес. Это геометрия сразу привлекла мое внимание своим несоответствием с привычной евклидовой геометрией. Необычность новой для меня геометрии с непривычными теоремами и аксиомой определила выбор темы для моего реферата.

Предметом изучения является геометрия Лобачевского, которая возникла благодаря изменению евклидовой формулировки аксиомы параллельных на предложенную Лобачевским: через точку вне прямой можно провести, по крайней мере, две прямые не встречающие данную. Но я рассмотрела не только теоремы и основные понятия, но историю создания данной геометрии.

Цели моей работы, заключаются в том, чтобы проследить историю создания геометрии Лобачевского, затронув также историю попыток доказательства пятого постулата, т.к. именно из-за споров над принадлежностью его к аксиомам, и возникла новая геометрия; исследовать аксиому, основные теоремы и понятия геометрии Лобачевского; рассмотреть модели геометрии Лобачевского, т.к. именно существование интерпретации подтверждает верность предположений; выявить значения данной геометрии для науки и прогресса.

Вступление.

Часть I. История создания геометрии Лобачевского.

1. 
   История попыток доказать пятый постулат.
   
2. 
   Открытие новой геометрии.
   
3. 
   Биография Лобачевского.
   

1. 
   Пересекающиеся и непересекающиеся прямые. Бесконечно-удаленные точки прямой
   
2. 
   Параллельные на плоскости Лобачевского.
   
3. 
   Предельная окружность.
   
4. 
   Предельная поверхность
   
5. 
   Модель плоскости Лобачевского
   

Заключение.

На протяжении почти 2000 лет с создания евклидовых “Начал”, где было сформулировано множество аксиом и постулатов, ученые пытались перевести пятый постулат в ряд теорем. Его сложная формулировка, неочевидность смущали умы математиков. Но вера в незыблемость геометрии Евклида не позволяла им предположить, что аксиома может не выполняться.

И только великий ученый и истинный гений Лобачевский смог, отвергнув сомнения и страхи, принять аксиому, противоположную аксиоме Евклида. С помощью этой аксиомы Лобачевский смог создать новую геометрию, названную в последствии его именем, в которой выполнялись все теоремы и аксиомы кроме аксиомы параллельных и зависящих от нее теорем.

В его геометрии сумма углов треугольника меньше 180⁰, не существует подобных фигур, площадь пропорциональна дефекту треугольника, длина сторон треугольника зависит от его углов, параллельность имеет направление и т.д.

В геометрии Лобачевского существует предельная прямая и предельная поверхность, чьи свойства схожи со свойствами круга и шара.

Существует несколько интерпретаций геометрии Лобачевского, самая ранняя из которых была найдена Бельтрами. Это псевдосфера, на которой выполняются некоторые теоремы Лобачевского.

Геометрия Лобачевского имеет место в пространстве Вселенной, таким образом она играла не последнюю роль в создании теории относительности Эйнштейна. Также создание новой геометрии заставило ученых понять, что нельзя абсолютировать пространству, и дало толчок к новым исследованиям.

1. 
   Г.И. Глейзер. История математики в школе IX – X классы. Пособие для учителей. Москва, “Просвещение” 1983г.
   
2. 
   Г.И. Глейзер. История математики в школе VII – VIII классы. Пособие для учителей. Москва, “Просвещение” 1964г.
   
3. 
   Н.Н. Иовлев. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Государственное издательство, 1930г.
   
4. 
   А.М. Ливанова. Три судьбы. Москва, “Знание” 1975г.
   
5. 
   Энциклопедический словарь юного математика. Москва, “Педагогика” 1985г.