Утверждено

по кандидатскому экзамену

«ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ»

по специальностям: 01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ, 01.01.04 – Геометрия и топология, 01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел, 01.01.09 – Дискретная математика и математическая кибернетика, 01.02.01 – Теоретическая механика, 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела, 01.02.08 – Биомеханика (физико-математические науки)

2.Взгляды на предмет математики: синтаксический, семантический и прагматический аспекты в истолковании предмета математики.

3. Специфика методов математики. Понятие аксиоматического построения теории и основные типы аксиоматик. Современные представления о соотношении индукции и дедукции, аналогии, интуиции и воображения в математике. Мысленный эксперимент в математике. Доказательство в математике и ЭВМ.

4.Структура математического знания. Основные математические дисциплины. Групповая классификация геометрических теорий (программа Ф. Клейна). Структурное и функциональное единство математики.

5.Философия математики и ее основные проблемы философии и методологии математики. Фундаменталистская и нефундаменталистская (социокультурная) философия математики.

6.Причины и истоки возникновения математических знаний. Проблема влияния египетской и вавилонской математики на математику Древней Греции.

7.Рождение математики как теоретической науки в Древней Греции. Пифагорейцы. Открытие несоизмеримости. Геометрическая алгебра и ее обоснование. Апории Зенона. Атомизм Демокрита и инфинитезимальные процедуры в Античности. Место математики в философии Платона.

8.Математика эпохи эллинизма. Аксиоматическое построение математики в «Началах» Евклида. Проблема актуальной бесконечности в античной математике. Место математики в философской концепции Аристотеля.

9.Математика в древней и средневековой Индии. Отрицательные и иррациональные числа. Озарение как способ обоснования математических результатов. Математика и астрономия.

10.Математика в древнем и средневековом Китае. Средневековая математика Арабского Востока. «Арабские» цифры как источник новых математических знаний. Выделение алгебры в самостоятельную науку. Философия геометрии в связи с попытками доказать V постулат Евклида.

11. Математика в средневековой Европе. Практически ориентированные геометрические и тригонометрические сведения у Л. Пизанского (Фибоначчи). Развитие античных натурфилософских идей и математика. Схоластические теории изменения величин как предвосхищение инфинитезимальных методов Нового времени. Дискуссии по проблемам бесконечного и непрерывного в мате­матике.

12.Математика в эпоху Возрождения. Проблема решения алгебраических 3-й и 4-й степеней как основание возникновения новых представлений о математических величинах. Алгебра Ф. Виета. Проблема перспективы в живописи и математика. «Философская теория» мнимых и комплексных чисел в «Алгебре» Р. Бомбелли.

13.Математика Нового времени. Проблема бесконечности. Философский контекст аналитической геометрии. Достижения в области алгебры и их естественнонаучное значение. «Вероятностная» гносеология в трудах философов Нового времени и проблема создания вероятностной логики (Лейбниц). Философский контекст открытия И. Ньютоном и Г. Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Критика Беркли и Ньютвентвейта. Нестандартный анализ А. Робинсона (1961) и новый взгляд на историю возникновения и первоначального развития анализа бесконечно малых.

14.Развитие математического анализа в XVIII в. Проблема оснований анализа. Философские идеи Б. Больцано в области теории функций. К. Вейерштрасс и арифметизация анализа.

15.Эволюция геометрии в XIX в. и интерпретация неевклидовой геометрии. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна как новый взгляд на структуру геометрии. П.-С. Лаплас, его философские взгляды на сущность вероятности и становление теории вероятностей как точной науки.

16.Теория множеств как основание математики: Г. Кантор и создание «наивной» теории множеств. Открытие парадоксов теории множеств и их философское осмысление.

17.Математическая логика как инструмент обоснования математики и как основание математики. Взгляды Г. Фреге на природу математического мышления. Программа логической унификации математики.

18.«Основания геометрии» Д. Гильберта и становление геометрии как формальной аксиоматической дисциплины.

19.Философские проблемы теории вероятностей в конце XIX – середине XX в.

20.Закономерности развития математики. Апология «чистой» математики (Г. Харди). Б. Г'ессен о социальных корнях механики Ньютона. Национальные математические школы (Л. Бибербах). Математика как совокупность «культурных элементов» (Р. Уайлдер). Концепция Ф. Китчера об эволюции математики. Эстафеты в математике (М. Розов).

21.Концепция научных революций Т. Куна и преемственность математического знания. Д. Даубен, Е. Коппельман, М. Кроу, Р. Уайлдер о специфике революций в математике. Классификация революций в математике.

22.Фальсификационизм К. Поппера и концепция научных исследовательских программ И. Лакатоса применительно к изучению развития математики.

23. Пифагореизм как первая философия математики. Числовой мистицизм. Влияние на пифагорейскую идеологию открытия несоизмеримых величин и парадоксов Зенона. Пифагореизм в сочинениях Платона. Критика пифагореизма Аристотелем.

24. Эмпирическая концепция математических понятий у Аристотеля. Первичность вещей перед числами. Обоснование эмпирического взгляда на математику у Бэкона и Ньютона. Математический эмпиризм XVII–XIX вв. Эмпиризм в философии математики XIX столетия (Дж.Ст. Милль, Г. Гельмгольц, М. Паш). Современные концепции эмпиризма: натурализм Н. Гудмена, эмпирицизм И. Лакатоса, натурализм Ф. Китчера. Недостатки эмпирического обоснования математики.

25.Философские предпосылки априоризма. Обоснование аналитичности математики у Лейбница. Понимание математики как априорного синтетического знания у Канта. Неевклидовы геометрии и философия математики Канта. Проблемы феноменологического обоснования математики у Гуссерля.

26.Истоки формалистского понимания математического существования. Идеи Г. Кантора о соотношении имманентной и транзиентной истины. Формалистское понимание существования (А. Пуанкаре и Д. Гильберт).

27.Современные концепции математики. Идеи абсолютного обоснования математики в работах И. Лакатоса. Программа Н. Бурбаки и концепция математического структурализма. Математический платонизм. Радикальный реализм К. Геделя. Физикализм. Социологические и социокультурные концепции природы математики.

28.Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в Античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII в. Поиски единой основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие парадоксов и становление современной проблемы обоснования математики.

29.Логицистская установка Г. Фреге. Критика психологизма и кантовского интуиционизма в понимании числа. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б. Рассел и А. Уайтхед). Результаты К. Геделя и А. Тарского. Методологические изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.

30.Идеи Л. Брауэра по логицистскому обоснованию математики. Учение Л. Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики. Следствия интуиционизма для современной математики и методологии математики.

31.Гильбертовская схема абсолютного обоснования математических теорий на основе финитной и содержательной метатеории. Выход за пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических доказательствах непротиворечивости арифметики (Г. Генцен, П. Новиков, Н. Нагорный). Теоремы К. Геделя и программа Д. Гильберта: современные дискуссии.

32.Прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. Математика как язык науки. Уровни математизации знания. Новые возможности применения математики, предлагаемые теорией категорий, теорией катастроф, теорией фракталов и др.

33.Математическая гипотеза как метод развития физического знания. «Непостижимая эффективность» математики в физике. Этапы математизации в физике. Неклассическая фаза (теория относительности, квантовая механика). Постклассическая фаза (аксиоматические и конструктивные теории поля и др.). Границы, трудности и перспективы математизации гуманитарного знания. Вычислительное, концептуальное и метафорическое применения математики. Границы применимости вероятностно-статистических методов в научном познании.

34. Сравнительный анализ математического моделирования в различных областях знания. Математическое моделирование в экологии и в финансовой сфере. Математические методы и модели и их применение при управлении сложными социально-экономическими системами.