Статья представляет собой обзор основных событий и тенденций в истории математики с

История математики
Введение
Данная статья представляет собой обзор основных событий и тенденций в истории математики с древнейших времён до наших дней. В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали Начала Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков. В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной, и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функция) и общая теория движения (анализ бесконечно малых. Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу. В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода основной вопрос философии математики найти причину непостижимой эффективности математики в естественных науках. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задачи др. В тоже время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде. Помимо большого исторического интереса, анализ эволюции математики представляет огромную важность для развития философии и методологии математики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретных математических дисциплин например, древняя китайская задача (теорема) об остатках сформировала целый раздел теории чисел.

Содержание
1 Возникновение арифметики и геометрии
2 Древний Восток
2.1 Египет
2.2 Вавилон
2.3 Китай
3 Древняя Греция
4 Индия
5 Страны ислама
6 Западная Европа
6.1 Средневековье, IV—XV века
6.2 XVI век
6.3 XVII век
6.4 XVIII век
6.5 XIX век
6.5.1 Геометрия
6.5.2 Математический анализ
6.5.3 Алгебра и теория чисел
6.5.4 Теория вероятностей
6.5.5 Математическая логика
6.5.6 Обоснование математики
6.5.7 Теория множеств и антиномии
7 Россия
8 XX век основные достижения
8.1 Новые направления
8.2 Математическая логика и основания математики
8.3 Алгебра и теория чисел
8.4 Математический анализ и математическая физика

8.5 Геометрия и топология
8.6 Дискретная и компьютерная математика
9 См. также
10 Примечания
11 Литература
12 Ссылки
Возникновение арифметики и геометрии
Математика в системе человеческих знаний есть раздел, занимающийся такими понятиями, как количество, структура, соотношение и т. п. Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов. Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. Археолог Б. А. Фролов обосновывает существование счёта уже в верхнем палеолите.
, но итак сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем ив письменности. Принцип именования или изображения числа нумерация) может быть аддитивным (одиннадцать, XXX = 30) субтрактивным (IX, девяносто) мультипликативным (пятьдесят, триста)

Счётное устройство инков
Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. п. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что ив языке. Названия чисел от двух (zwei, two, duo, deux, dvi, два) до десяти, а также десятков и числа 100 в индоевропейских языках сходны. Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная система счисления. Хотя есть и исключения 80 по-французски quatre-vingt (то есть 4 двадцатки, а 90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); это употребление восходит к счёту по пальцам руки ног. Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, первоначально считали пятёрками. Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётах использовали шестидесятеричную систему. А туземцы островов Торресова пролива — двоичную
Урапун (1); Окоза (2); Окоза-Урапун (3); Окоза-Окоза (4); Окоза-Окоза-Урапун (5); Окоза-Окоза-
Окоза(6) Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. Натуральное число — это идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п. Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств водно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно. Другое важное практическое действие — разделение на части — со временем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — деление. Делить на 10 частей сложно, поэтому десятичные дроби, удобные в сложных вычислениях, появились сравнительно поздно. Первые дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 или 12. Например, у римлян стандартной дробью была унция (1/12). Средневековые денежные и мерные системы несут на себе явный отпечаток древних недесятичных систем 1 английский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда и т. д. Примерно в тоже время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они обычно получали названия схожих сними реальных предметов например, у греков
«ромбос» означает волчок, «трапедсион» — столик (трапеция, сфера — мяч. Теория измерений появилась значительно позже, и нередко содержала ошибки характерным примером является ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Это неудивительно измерительным инструментом служила мерная верёвка с узлами или пометками, так что измерить периметр можно было без труда, а для определения площади в общем случае ни инструментов, ни математических методов не было. Измерения служили важнейшим применением дробных чисел и источником развития их теории.

Древний Восток
Египет
Иероглифическая запись уравнения Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия дон. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие математики учились у египтян 1+. Основные сохранившиеся источники папирус Ахмеса, он же папирус Ринда (84 математические задачи, и московский папирус Голенищева (25 задач, оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны. Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года дон. э) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным. Полностью отсутствуют какие бы тони было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры при решении уравнений специальный иероглиф куча обозначал неизвестное. В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как
; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположения
= 3,1605 (погрешность менее 1 %)*9+.

Египтяне знали точные формулы для объёма параллелепипеда и различных цилиндрических тела также пирамиды и усечённой пирамиды. Пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле . О более раннем ходе развития математики в Египте сведений нет никаких. О более позднем, вплоть до эпохи эллинизма — тоже. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.
Вавилон
Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500 тыс, из них около 400 связаны с математикой. Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п. Вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чему египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д. Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора, известная ещё в эпоху Хаммурапи. Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Для умножения применялся громоздкий комплект таблиц. Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс новое приближение получалось из предыдущего по формуле метода Ньютона:
В геометрии рассматривались те же фигуры, что ив Египте, плюс сегмент круга и усечённый конус. В ранних документах полагают π=3; позже встречается приближение 25/8 = 3,125. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников видимо, им был знаком принцип

подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что ив Египте S=
Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.
Китай
Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии дон. э, и начертание их окончательно установилось к III веку дон. э. Эти иероглифы применяются ив настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, ив отличие от вавилонян, десятичной. Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань (см. на фотографии, по принципу использования аналогичной русским счётам. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для запоминания таблицы умножения существовала специальная песня, которую ученики заучивали наизусть. Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — Математика в девяти книгах. Китайцам было известно многое, в том числе вся базовая арифметика (включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, действия с дробями, пропорции, отрицательные числа, площади и объёмы основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек, решение квадратных уравнений. Был даже разработан метод фан- чэн для решения систем произвольного числа линейных уравнений — аналог классического европейского метода Гаусса. Численно решались уравнения любой степени — способом тянь- юань, напоминающим метод Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена.
Древняя Греция

Рафаэль Санти. Афинская школа. Математика в современном понимании этого слова родилась в Греции. В странах-современниках
Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения, либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п. Математической теории в полном смысле этого слова не было, дело ограничивалось сводом эмпирических правил, часто неточных или даже ошибочных. Греки подошли к делу с другой стороны.
Во-первых, пифагорейская школа выдвинула тезис Числа правят миром 2+. Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя Природа разговаривает снами на языке математики (Галилей. Это означало, что истины математики есть в известном смысле истины реального бытия.
Муза геометрии (Лувр)
Во-вторых, для открытия таких истин пифагорейцы разработали законченную методологию. Сначала они составили список первичных, интуитивно очевидных математических истин аксиомы, постулаты. Затем с помощью логических рассуждений (правила которых также постепенно унифицировались) из этих истин выводились новые утверждения, которые также обязаны быть истинными. Так появилась дедуктивная математика.

Греки проверили справедливость этого тезиса во многих областях астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой. Попытка пифагорейцев положить в основу мировой гармонии целые числа (и их отношения) была поставлена под сомнение после того, как были обнаружены иррациональные числа. Платоновская школа (IV век дон. э) выбрала иной, геометрический фундамент математики (Евдокс Книдский). На этом пути были достигнуты величайшие успехи античной математики (Евклид, Архимед,
Аполлоний Пергский и другие. Греческая математика впечатляет прежде всего богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у Диофанта, аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но главное не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов. Первое — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной нач тко сформулированных законах логики (гарантирующих истинность выводов при условии, что истинны предпосылки. Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию. В этих двух отношениях древнегреческая математика вполне родственна современной.
Инди
От этих индийских значков произошли современные цифры (начертание I века н. э) Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до . Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, ас века дон. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, асами арабы — индийскими.
Ариабхата Около 500 года н. э. неизвестный нам великий индийский математик изобрёл новую систему записи чисел — десятичную позиционную систему. В ней выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятеричных, как у вавилонян. В дальнейшем индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. К V—VI векам относятся труды Ариабхаты, выдающегося индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. В VII веке работал другой известный индийский математики астроном, Брахмагупта. Начиная с
Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг.

Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области теории чисел и численных методов. Индийцы далеко продвинулись в алгебре их символика богаче, чему
Диофанта, хотя несколько громоздка (засорена словами. Геометрия вызывала у индийцев меньший интерес. Доказательства теорем состояли из чертежа и слова смотри. Формулы для площадей и объёмов, а также тригонометрию они, скорее всего, унаследовали от греков.
Страны ислама

Страница из книги аль-Хорезми Математика Востока, в отличие от греческой, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, строительство, география, астрономия и астрология, механика, оптика. В IX веке жил ал-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный за это аль-Маджуси (маг. Изучив индийские и греческие знания, он написал книгу Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до Испании. В
XII веке эта книга переводится на латинский, от имение автора происходит наше слово алгоритм (впервые в близком смысле использовано Лейбницем. Другое сочинение ал-
Хорезми, Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин алгебра. Исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но также геометрии и тригонометрии (в основном для астрономических приложений. Насир ад-Дин ат-Туси (XIII веки
Ал-Каши (XV век) опубликовали выдающиеся работы в этих областях. В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезом дело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозно владели классическими методами, однако новых результатов получено немного.
Западная Европа
Средневековье, IV—XV века
В V веке наступил конец Западной Римской империи, и территория Западной Европы надолго превратилась в поле непрестанных сражений с завоевателями и разбойниками (гунны, готы, венгры, арабы, норманны и т. п. Развитие науки прекратилось. Потребность в математике ограничивается арифметикой и расчётом календаря церковных праздников, причём арифметика изучается по древнему учебнику Никомаха Геразского в сокращённом переводе Боэция на латинский.

Достопочтенного (он занимался календарём, пасхалиями, хронологией, теорией счёта на пальцах) и монаха Герберта, с
999 года — римского папы под именем Сильвестр II, покровителя наук ему приписывают авторство нескольких трудов по астрономии и математике. Популярный сборник занимательных математических задач издал англосаксонский поэт и учёный Алкуин (VIII век. Стабилизация и восстановление европейской культуры начинаются с XI века. Появляются первые университеты (Салерно, Болонья. Расширяется преподавание математики в традиционный квадривиум входили арифметика, геометрия, астрономия и музыка.
Латинский перевод Начал Евклида (XIV век) Первое знакомство европейских учёных с античными открытиями происходило в Испании. В XII веке там переводятся (с греческого и арабского на латинский) основные труды великих греков и их исламских учеников. С XIV века главным местом научного обмена становится Византия. Особенно охотно переводились и издавались Начала Евклида постепенно они обрастали комментариями местных геометров. Единственным относительно крупным математиком за всю послеантичную историю Византии был Максим Плануд, комментатор Диофанта и популяризатор десятичной системы. В конце XII века на базе нескольких монастырских школ был создан Парижский университет, где обучались тысячи студентов со всех концов Европы почти одновременно возникают Оксфорд и Кембридж в Британии. Интерес к науке растёт, и одно из проявлений этого — смена числовой системы. Долгое время в Европе применялись римские цифры. В XII—XIII веках публикуются первые в Европе изложения десятичной позиционной системы записи (сначала переводы ал-
Хорезми, потом собственные руководства, и начинается её применение. С XIV века индо- арабские цифры начинают вытеснять римские даже намогильных плитах. Только в астрономии ещё долго применялась шестидесятеричная вавилонская арифметика.

Страница из Книги абака Первым крупным математиком средневековой Европы стал в XIII веке Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи. Основной его труд Книга абака (1202 год, второе переработанное издание — 1228 год. Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. Фибоначчи был хорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних и систематизировал значительную их часть в своей книге. Его изложение по полноте и глубине сразу стало выше всех античных и исламских прототипов, и долгое время было непревзойдённым. Эта книга оказала огромное влияние на распространение математических знаний, популярность индийских цифр и десятичной системы в Европе. В книгах Арифметика и О данных числах Иордана Неморария усматриваются зачатки символической алгебры, до поры до времени не отделившейся от геометрии. В это же время Роберт Гроссетест и Роджер Бэкон призывают к созданию экспериментальной науки, которая на математическом языке сможет описать природные явления. В XIV веке университеты появляются почти во всех крупных странах (Прага, Краков, Вена,
Гедельберг, Лейпциг, Базель и др. Философы из Оксфордского Мертон-Колледжа, жившие в XIV веке и входившие в группу так называемых оксфордских калькуляторов, развивали логико-математическое учение об усилении и ослаблении качеств. Другой вариант этого же учения развивал в Сорбонне Николай Орем. Он ввёл изображение зависимости с помощью графика, исследовал сходимость рядов+ В алгебраических трудах он рассматривал дробные показатели степени. Видный немецкий математики астроном XV века Иоганн Мюллер стал широко известен под именем Региомонтан — латинизированным названием его родного города Кёнигсберг*C 3+. Он напечатал первый в Европе труд, специально посвящённый тригонометрии. По сравнению с арабскими источниками нового немного, но надо особо отметить систематичность и полноту изложения.

Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века, друг Леонардо да Винчи, дал ясный (хотя не слишком удобный) набросок алгебраической символики.

Каталог: college -> str prep -> files
college -> Принципы психологии здоровья
college -> Вред пива и пивной
college -> Вопросы к зачету по дисциплине одб. 09 Химия с элементами экологии по специальности 38. 02. 07 Банковское дело 2 курс, 2 семестр Группы: бд2-2
files -> 9 первая помощь при обмороке обморок
files -> 9 искусственное дыхание и закрытый массаж сердца клиническая смерть