Методические указания к лабораторной работе для студентов всех технических направлений дневной и заочной формы обучения

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
34
Определение индуктивности
катушки и ёмкости конденсатора

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех технических направлений дневной и заочной формы обучения

Ухта
УГТУ
2017

УДК 537.226 (075.8)
ББК 22.379 я7
Л 24
Лапина, Л. Н.
Л 24
Определение индуктивности катушки и ёмкости конденсатора
[Текст] : метод. указания к лабораторной работе / Л. Н. Лапина. – Ухта :
УГТУ, 2017. – 14 с.
Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по физике по теме «Электромагнетизм» для студентов всех специальностей.
Содержание методических указаний соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) высшего образования по данному направлению.
УДК 537.226 (075.8)
ББК 22.379 я7
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики 19.12.16
,
пр.
№ 9.
Рецензент: Н. А. Северова, доцент кафедры физики УГТУ.
Редактор: В. Н. Шамбулина, доцент кафедры физики УГТУ.
Технический редактор: Л. П. Коровкина.
Методические указания изданы в авторской редакции с минимальными правками.
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2017 г., позиция 135.
Подписано в печать 28.04.2017. Компьютерный набор.
Объём 14. Тираж 100 экз. Заказ № 316.
© Ухтинский государственный технический университет, 2017 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.
Типографии УГТУ.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.

3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОСТИ
КАТУШКИ И ЁМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА
Целью работы
является измерение активного и полного сопротивления катушки, определение индуктивности катушки и емкости конденсатора.
Краткая теория
В 1831 г. М. Фарадеем было открыто явление электромагнитной индук- ции. Явление состоит в следующем: если поток вектора индукции, пронизыва- ющий замкнутый проводящий контур, меняется, то в контуре возникает элек- трический ток. При этом явление совершенно не зависит от способа изменения потока индукции. ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, зависит от скорости изменения магнитного потока, сцепленного с контуром
i
dФ
dt
  
(1)
Пусть контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит не из одного витка, а из N одинаковых витков, т. е. представляет собой соленоид. Поскольку витки соленоида соединяются последовательно,
i
 будет равна сумме ЭДС, индуци- руемых в каждом из витков в отдельности.


i
dФ
d
Ф
dt
dt
  
 


Величину  =

Ф называют потокосцеплением или полным магнит-
ным потоком. Ее измеряют в тех же единицах, что и магнитный поток Ф, т. е. в веберах (Вб). Воспользовавшись потокосцеплением, выражение для ЭДС, индуцируемой в соленоиде, можно записать в виде:
i
d
dt

  
(2)
Знак « – » в законе (2) показывает, что возникающая ЭДС индукции препят- ствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток.
Электрический ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток. При изменениях тока будет меняться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуциро- ваться ЭДС. Это явление называется самоиндукцией, а возникающая ЭДС –
ЭДС самоиндукции.

4
В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в кон- туре i и создаваемый им полный магнитный поток через контур  пропорцио- нальны друг другу:
 =Li.
Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным маг- нитным потоком называется индуктивностью контура.
Индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы, разме- ров, числа витков) и от магнитных свойств (от  ) окружающей контур среды.
 – магнитная проницаемость вещества, из которого изготовлен сердеч- ник соленоида. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнети- ков, индуктивность будет постоянной величиной. Индуктивность соленоида:
2 0
L
n lS
 
, где n – число витков на единицу длины соленоида;
l – длина;
S – площадь сечения соленоида.
За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого про- водника, у которого при силе тока в нем в 1А возникает полный поток , рав- ный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн).
При изменении силы тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции
S
 равная:
 
S
d Li
d
di
dL
L
i
dt
dt
dt
dt



  
 
 





(3)
Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не из- меняется, то L = const и выражение для
S
 , будет иметь вид:
S
di
L
dt
  
(4)
Знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электри- ческую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормо- зится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.
Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содержащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам кото- рого приложено переменное напряжение.

5 1. Пусть к зажимам сопротивления R (рис. 1а), не обладающего индук- тивностью и емкостью (такое сопротивление называется активным), приложено напряжение, изменяющееся по закону: cos
m
U
U
t

 ,
(5)
m
U – амплитудное значение напряжения. При выполнении условия ква- зистацинарности ток через сопротивление определяется законом Ома: cos cos
m
m
U
U
i
t
t
R
R
I



 
 ,
где ω = 2πν – циклическая частота колебаний напряжения (и тока);
ν – частота.
Рис. 1
Таким образом, между амплитудными значениями силы тока и напряже- ния имеется соотношение:
m
m
U
I
R

(6)
2. Подадим переменное напряжение U = U
m
cos

t на концы катушки с пренебрежимо малым сопротивлением и ёмкостью (рис. 1б). В ней появится переменный ток, вследствие чего возникнет ЭДС самоиндукции:
i
di
L
dt
  
(7)
Закон Ома для неоднородного участка цепи:


1 2
12
IR    
 
Учтём, что R = 0, разность потенциалов равна U,
12
S
   . Тогда закон Ома для рассматриваемого участка запишется следующим образом: cos
0
m
di
U
t
L
dt
 
 , откуда cos
m
di
L
U
t
dt

 .

6
В нашем случае все внешнее напряжение приложено к катушке индук- тивности L. Следовательно, величина:

L
di
U
L
dt

(8) есть не что иное, как падение напряжения на индуктивности. Перепишем предыдущее уравнение в виде: cos
m
U
di
tdt
L


После интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (нет постоянной составляющей тока), получим sin cos
2
m
m
U
i
t
I
t
L




 
 





,
(9) где
m
m
U
I
L


.
Как видно из формулы (9), изменения тока, текущего через индуктив- ность, опережают по фазе на
2

изменения тока, текущего через активное со- противление.
Сопоставляя последние выражения, мы видим, что роль сопротивления в данном случае играет величина:
L
X
L
  ,
(10) которую называют реактивным индуктивным сопротивлением или просто ин-
дуктивным сопротивлением.
Как видно, величина индуктивного сопротивления растет с частотой. По- стоянному току (
0
 
) индуктивность не оказывает сопротивления.
3. Пусть переменное напряжение подано на ёмкость (рис. 1в). Индуктив- ностью цепи и сопротивлением подводящих проводов пренебрежем. Ёмкость непрерывно перезаряжается, вследствие чего в цепи течет переменный ток. По- скольку сопротивление проводов пренебрежимо мало, напряжение на конден- саторе можно считать равным внешнему напряжению cos
C
m
q
U
U
t
C


 .
Умножим это выражение на С и продифференцируем по t: sin cos
2
m
m
dq
i
CU
t
I
t
dt




 
 
 




,
(11)

7 где
1
m
m
m
U
I
CU
C
 


Как видно из формулы (11), изменения тока, текущего через ёмкость от- стают на
2

от изменения тока на активном сопротивлении.
Величина
1
C
X
C


(12) называется реактивным ёмкостным сопротивлением или просто ёмкостным
сопротивлением. Как индуктивное X
L
, так и ёмкостное X
C
сопротивления, из- меряются в омах (Ом).
Для постоянного тока (
0
 
)
С
X   , т. е. постоянный ток через конден- сатор течь не может. Переменный ток течёт через конденсатор, причём оказы- ваемое току сопротивление тем меньше, чем больше частота тока

и ёмкость конденсатора С.
4. Рассмотрим самый общий случай, когда цепь составлена из активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С (рис. 2).
Подадим на концы этой цепи переменное напряжение U частоты

. В цепи возникнет переменный ток той же частоты, амплитуда
m
I
и фаза которого определяются пара- метрами цепи R, C и L.
Для амплитудного значения силы тока теория дает следующее выражение:
2 2
1
m
m
m
U
U
I
Z
R
L
C




  





,
(13) являющееся законом Ома для цепи переменного тока, содержащей последова- тельно соединенные R, L, C.
Величина


2 2
2 2
1
L
C
Z
R
L
R
X
X
C



  








,
(14)
Рис. 2

8 называется полным сопротивлением. Полное сопротивление может быть вы- числено на основании закона Ома для цепи переменного тока:
эф
m
m
эф
U
U
Z
I
I


,
(15) где U
эф
и I
эф
– эффективные значения напряжения и тока, измеренные при- борами.
Эффективными (или действующими) значениями переменного тока или напряжения называются такие значения постоянного тока (напряжения), при ко- торых выделяется такая же мощность, как и при данном переменном токе. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения. Теория показывает, что эффективные значения тока и напряжения связаны с амплитудными значениями, следующими соотношениями:
2
m
эф
U
U

;
2
m
эф
I
I

(16)
На рисунке 3 представлена векторная диаграмма амплитуд напряжений при последовательном соединении активного сопротивления R, индуктивности
L и ёмкости С.
Ось токов
U
U
C
U
L
U
R
U
L
-U
C
U
m
φ
Рис.3.
L
U
m
L




C
U
m
C




1
R
U
m
R



Здесь
,
,
L
C
R
U U
U – падение напряжения на каждом участке цепи, I
m
– ам- плитуда тока. Амплитуда U
m
приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Угол φ определяет раз- ность фаз между напряжением и силой тока. Сдвиг фаз φ между током и напряжением следует из рисунка 3.
1
L
C
L
X
X
C
tg
R
R
 


 

(17)
Если напряжение в цепи изменяется по закону cos
m
U
U
t


, то в цепи течёт ток


cos
m
I
I
t

  

9
Выполнение работы

Приборы и принадлежности:

1. Источник постоянного и переменного тока.
2. Исследуемая катушка с сердечником; исследуемые конденсаторы.
3. Миллиамперметр постоянного тока.
4. Вольтметр и миллиамперметр переменного тока.
5. Соединительные провода.

1. Измерение активного сопротивления катушки

Измерение активного сопротивления R может быть проведено различными способами. В данной работе применяется метод вольтметра-амперметра.
Сущ- ность метода заключается в измерении значений напряжения на элементе цепи при различных значениях тока.
Для получения правильных результатов с помощью данного метода необ- ходимо, чтобы сопротивление вольтметра было во много раз больше сопротив- ления элемента цепи, параллельно которому он подключен.
Опыт ведется на постоянном токе. Активное сопротивление R катушки индуктивности – это электрическое сопротивление, оказываемое постоянному току проволокой, из которой намотана катушка. Как известно, активное сопро- тивление определяется материалом проводника, его длиной и площадью попе- речного сечения.
Переключатели на источнике и на панели, где находятся катушка и кон- денсаторы, ставят в положение « – », съёмные провода подключены к катушке.
Измерение напряжения на катушке производится вольтметром. Ручкой по- тенциометра на источнике повышают напряжение на клеммах прибора до макси- мального показания одного из приборов (вольтметра V или миллиамперметра mA).

10
Производится одно измерение и показания приборов заносятся в таблицу 1.
Вычисляют активное сопротивление R согласно закону Ома (
U
R
I

).
Таблица 1
U
U
I
I
R
R
R



R
Погрешность измерения тока (I) и напряжения (U) принимается равной двум единицам младшего разряда (по цифровым приборам). Относительная по- грешность измерения сопротивления вычисляется по формуле:
2 2
R
U
I
R
U
I


















2. Измерение полного сопротивления катушки и определение
индуктивности катушки

Поставьте заданную преподавателем частоту переменного тока. Пере- ключатели на приборе и на панели находятся в положении «
».
Снимаются показания вольтметра и миллиамперметра при максимальном показании одного из приборов (рис. 4).
Рис. 4
Опыт проводится без сердечника ( = 1) (катушка снимается с сердечни- ка) и с сердечником ( > 1). Показания приборов заносятся в таблицу 2.
Индуктивность катушки L может быть определена из выражения для полно- го сопротивления (14), в котором надо пренебречь емкостным сопротивлением.
Тогда
Z
=
2 2
Z
R
L

 

11
Откуда
2 2
2 2
2
Z
R
Z
R
L






(18)
Таким образом, для определения индуктивности катушки L надо изме- рить ее активное и полное сопротивление.
2 v
  
– круговая частота переменного тока.
(19)
По результатам измерений производится вычисление полного сопротив- ления катушки с сердечником и без сердечника по формуле (15) и индуктивно- сти катушки с сердечником и без сердечника по формуле (18). Сопротивление активное R взять из таблицы 1.
Погрешности
эф
U

,
эф
I

, Z определяются аналогично, как и в первом задании:
2 2
эф
эф
эф
эф
U
I
Z
Z
U
I





















Таблица 2

U
эф

U
эф

I
эф

I
эф

Z
Z
Z


Z




L
 =1









 >1










3. Определение электроемкости конденсатора
Провода на панели переключают с катушки на конденсаторы и измеряют ток и напряжение (рис 5).
Рис. 5
Опыт проводится с двумя конденсаторами на переменном токе. Результа- ты измерения заносятся в таблицу 3.

12
Таблица 3
U
эф


U
эф

I
эф


I
эф



C
С
С


С


По результатам измерений производится вычисление емкости каждого конденсатора по формуле:
2
эф
эф
I
С
U


Относительную погрешность измерения емкости определяют для одного из конденсаторов по формуле:
2 2
эф
эф
эф
эф
I
U
С
С
I
U









 












Абсолютная погрешность
C
C

  
.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем состоит явление самоиндукции?
2. От чего зависит индуктивность проводника?
3. Единицы измерения В, Ф, С, L.
4. Почему активное сопротивление катушки определяется на постоянном токе?
5.
Что такое индуктивное сопротивление и от чего оно зависит?
Чему равны Х
L
и Х
C
для постоянного тока?
6.
Что такое активное сопротивление катушки индуктивности? От ка- ких факторов оно зависит?
7. Как влияет сердечник на величину полного сопротивления катушки ?
8. Нарисуйте график зависимости тока I от частоты

для контура, со- держащего R, L, C, и объясните его.
9. Как изменяется индуктивность катушки при введении внутрь сердеч- ника с магнитной проницаемостью
5
 
?
10. Активное сопротивление катушки 150 Ом. Полное сопротивление
250 Ом. Чему равна индуктивность катушки, включённой в электрическую цепь? Частота тока 50 Гц.
11. Эффективное значение переменного тока 0,2 А. Чему равно ампли- тудное значение тока? Что называется эффективным значением переменного тока и напряжения?

13 12. Что покажет амперметр, включённый последовательно конденсатору в цепь постоянного тока?
13. Применим ли закон Ома к цепям переменного тока?
14. Объясните природу емкостного сопротивления. От каких факторов оно зависит?


Индивидуальные задания
1. В цепь переменного тока частотой  = 50 Гц включена катушка длиной
l = 20 cм и диаметром d = 5 см, содержащая N = 500 витков медного провода площадью поперечного сечения S = 0,6 мм
2
. Определите, какая доля полного сопротивления катушки приходится на реактивное сопротивление. Удельное сопротивление меди  = 17 нОм  м.
Ответ:
39%
X
Z

2. В цепь переменного тока частотой  = 50 Гц включена катушка длиной
l = 30 cм и площадью поперечного сечения S = 10 cм
2
, содержащая
N = 1000 витков. Определите активное сопротивление катушки, если известно, что сдвиг фаз  между напряжением и током составляет 30°.
Ответ: R = 2,28 Ом.
3. В цепь переменного тока частотой  = 50 Гц последовательно включе- ны резистор сопротивлением R = 100 Ом и конденсатор ёмкостью С = 22 мкФ.
Определите, какая доля напряжения, приложенного к этой цепи, приходится на падение напряжения на конденсаторе.
Ответ:
0,823.
Cm
m
U
U

4. В цепь переменного тока частотой  = 50 Гц и действующим значением напряжения U = 300 B последовательно включены конденсатор, резистор со- противлением R = 50 Ом и катушка индуктивностью L = 0,1 Гн. Падения напряжения на катушке и конденсаторе относятся как U
1
: U
2
= 1 : 2. Определи- те: 1) ёмкость конденсатора; 2) действующее значение силы тока.
Ответ: 50 мкФ; 5 А.

14 5. В сеть переменного тока с действующим значением напряжения 120 В последовательно включены проводник с активным сопротивлением 10 Ом и ка- тушка индуктивностью 0,1 Гн. Определите частоту

тока, если амплитудное значение силы тока в цепи равно 5 А.
Ответ:

= 51,6 Гц.
6. Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы получить однослойную ка- тушку индуктивностью L = 100 мкГн?
Ответ: N = 225.

Библиографический список
Трофимова, Т. И. Курс физики : учеб. / Т. И. Трофимова. – М., 2000. –
§ 98, 119, 126, 149, 152.

Каталог: sites -> default -> files -> books
books -> Шугаев Илья Викторович Один раз на всю жизнь Брак, семья, дети. Беседы со старшеклассниками
books -> Учение об элементах (Таттва-видья)
books -> Паисий Величковский Крины сельные или цветы прекрасные, собранные вкратце от Божественного Писания
books -> Изложение учения агни-йоги Догматы: свет или тьма? Бог или «психическая энергия»?
books -> Иоанн Кронштадтский Дневник
books -> Методология неврологического диагноза