Программа аттестационного испытания по дисциплине «математика для менеджеров»

Основы математической логики. Алгебра логики. Язык математической логики. Высказывания. Кванторы. Логические операции. Таблицы истинности. Эквивалентность высказываний. Логические методы исследования. Аналогия, индукция, дедукция. Метод полной математической индукции.

Множества. Основы теории множеств. Отображения. Понятие множества. Операции с множествами. Числовые характеристики множеств. Конечные и бесконечные множества. Прямое произведение множеств. Бинарные отношения. Теорема Кантора и разбиение множеств на классы. Отображения множеств.

Числа. Множества чисел. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа. Комплексные числа, Формы представления и арифметические операции с комплексными числами. Геометрическая интерпретация. Операции возведения в степень и извлечения корня. Формулы Муавра.

Векторы. Метод координат. Операции с векторами. Системы координат. Понятие вектора. Действия над векторами (умножение вектора на число, сложение векторов) и их свойства. Определение n-мерного координатного пространства. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Угол между векторами. Ортогональность векторов. Линейная зависимость векторов. Линейные пространства.

Определение линейно зависимого и линейно независимого набора векторов. Свойства линейной зависимости. Базис и размерность линейного пространства. Уравнение прямой на плоскости. Уравнения плоскости и прямой в пространстве

Тема 5.

Матрицы и определители.

Определение матрицы. Умножение матрицы на число, сложение матриц. Умножение матриц. Свойства действий над матрицами. Транспонирование матриц. Числовые характеристики матриц. Обращение матриц. Определение определителя n-го порядка; минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя по произвольной строке (столбцу). Свойства определителя. Определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы и явная формула для ее нахождения. Свойства обратной матрицы.

Тема 6.

Системы линейных уравнений.

Построение решений систем линейных уравнений. Системы линейных уравнений. Матричная запись. Решение систем методом Крамера и методом обратной матрицы. Метод Гаусса.

Тема 7.

Собственные числа и собственные векторы матриц. Квадратичные формы.

Задача на собственные значения. Квадратичные формы.

Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы. Характеристический многочлен. Нахождение собственных значений и собственных векторов. Понятие квадратичной формы.

Знакоопределенность. Канонический вид.
Модуль 2 . Функции, пределы и производные

Тема 8.

Функции. Отображения и функции. Понятие функции . Область определения и множество значений. Сюръекции, инъекции и биекции. Свойства функций. Понятие обратной функции. Элементарные функции..

Предел функции и непрерывность.

Предел числовой последовательности. Понятие последовательности, примеры. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах.

Предел функции. Непрерывные функции.

Предел функции. Определение непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций. Теорема Вейерштрасса. Понятие предела функции при, асимптоты графиков функций. Замечательные пределы.

Тема 10.

Производная и исследование функций.

Понятие производной

Определение производной. Производные элементарных функций. Свойства операции дифференцирования. Касательные к графикам функций. Производная сложной функции, обратной функции. Дифференциал.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Правило Лопиталя вычисления пределов.

Исследование функций с помощью производной

Признаки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия экстремума. Задача нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Нахождение асимптот и построение графиков функций.

Первообразная и интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл. Первообразная. Определение неопределенного интеграла и его свойства. Интегралы от основных элементарных функций. Методы вычисления неопределенных интегралов (замена переменной, интегрирование по частям).

Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла и его свойства. Теорема о среднем значении. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов и геометрические приложения. Несобственные интегралы.

Функции многих переменных.

Функции многих переменных. Множества на плоскости. Множества в трехмерном пространстве. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Экстремумы функции многих переменных Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных.

Тема 13.

Числовые и функциональные ряды.

Числовые ряды. Понятие сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Расходимость гармонического ряда. Признаки сходимости рядов. Абсолютная сходимость.

Функциональные ряды. Область сходимости степенного ряда. Формула Тейлора для многочлена. Формула Лагранжа для остаточного члена в формуле Тейлора. Ряды Маклорена некоторых элементарных функций.

Дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Общие и частные решения. Задача Коши. Разделение переменных. Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Матричный метод решения систем дифференциальных уравнений.

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов,

1.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1996, 479 с.