операцию вычисления разностных отношений (операцию

операцию вычисления разностных отношений (операцию
численного дифференцирования) называют некорректной. Поясним

181
причину некорректности на примере вычисления первой разделенной разности
h
u
u
u
i
i
i
x
1
,
−
−
=
Разностное отношение
i
x
u
,
хорошо приближает
)
(
i
x
u
′
только в том случае, когда шаг h достаточно мал. Требование малости величины h , находящейся в знаменателе разностного отношения, как раз и является причиной некорректности операции численного дифференцирования.
Действительно, пусть вместо точных значений
i
u ,
1
−
i
u вычислены приближенные значения
i
i
i
u
u
δ
+
=
,
1 1
1
−
−
−
+
=
i
i
i
u
u
δ
Тогда вместо
i
x
u
,
будет вычислена величина
h
u
i
i
i
x
)
(
1
,
−
−
+
δ
δ
Следовательно, появляется дополнительная погрешность в вычислении первой разностной производной, которая равна
h
i
i
i
x
)
(
1
,
−
−
=
δ
δ
δ
Пусть известна граница
δ
погрешностей:
δ
δ ≤
i
и
δ
δ ≤
−
1
i
, тогда
h
i
x
δ
δ
2
,
≤
,
(18.22)
причем эта оценка достигается при
δ
δ
δ
=
−
=
−
1
i
i
. Из оценки (8.22) видно, что вследствие малости h дополнительная погрешность, возникающая при вычислении первой разностной производной, значительно превосходит погрешность вычисления самой функции
)
(x
u
. Если
δ
не зависит от
h , то погрешность
i
x ,
δ
неограниченно возрастает при
0
→
h
Сказанное не означает, что нельзя пользоваться формулами численного дифференцирования. Чтобы не происходило существенного понижения точности надо следить за тем, чтобы дополнительная погрешность имела тот же порядок, что и погрешность аппроксимации.
Например, из (18.18) следует, что погрешность аппроксимации при замене
)
( x
u
′
отношением
i
x
u
,
не превосходит величины
2 5
0 hM , где
)
(
max
]
,
[
2
x
u
M
b
a
′′
=
. Естественно потребовать, чтобы и дополнительная погрешность
i
x ,
δ
была сравнима с погрешностью аппроксимации, например потребовать, чтобы
2 2
2
h
M
h
≤
δ
,
(18.23)

182
где
2
M не зависит от h . Это означает, что погрешность
δ
при вычислении значений функции
)
(
i
x
u
должна быть величиной
)
(
2
h
O
С другой стороны, неравенство (18.23) показывает, что если величина
δ
задана и мы не можем ее менять, то вычисления надо проводить не с произвольно малым шагом h , а с шагом, удовлетворяющим условию
0
h
h
≥
, где
2 0
2
M
h
δ
=
Запрет вести расчеты с шагом
0
h
h
<
называют регуляризацией
численного дифференцирования.
Некорректность численного дифференцирования – это следствие некорректности операции дифференцирования непрерывных функций.
Дифференцирование некорректно в том смысле, что из справедливости неравенства
( )
ε
<
−
2 1
)
(
x
u
x
u
не следует справедливость неравенства
( )
ε
<
′
−
′
2 1
)
(
x
u
x
u

183
Литература
1.
Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994.
2.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -
М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
3.
Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.1. - М.: Физматгиз,
1962.
4.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов. - М.: Высшая школа,
2002.
5.
Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.:
Наука, 1977.
6.
Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука,
1984.
7.
Волков Е. А. Численные методы. - СПб.: Лань, 2004.
8.
Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. -
М.: Наука, 1970.
9.
Дробышевич В. И.,
Дымников В. П.,
Ривин Г.С. Задачи по вычислительной математике. - М.: Наука, 1980.
10.
Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.А. Методы сплайн- функций. –М.: Наука, 1980. - 352 с.
11.
Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.
12.
Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. – Новосибирск, Наука, 1993. - 158 с.
13.
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1989.
14.
Методы вычислений: Методуказания и задания для лабораторных работ.Ч.1/Сост. В. Е. Распопов, В. А. Сапожников, М. М. Клунникова. -
Красноярск, 2000.
15.
Плис А. И., Сливина Н. А. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1994.
16.
Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. - М.:
Мир, 1984.
17.
Ракитин В. И., Первушин В. Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров.
- М.: Высшая школа, 1998.
18.
Распопов В. Е., Клунникова М. М.,
Сапожников В. А.
Численный анализ. - Красноярск, 2005.
19.
Самарский А. А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1987.
20.
Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
21.
Самарский А. А., Николаев. Методы решения сеточных уравнений. -
М.:Наука, 1978.

184 22.
Сборник задач по методам вычислений/Под ред. П. И. Монастырного.-
М.: Наука, 1994.
23.
Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. -
М.: Наука, 1970.
24.
Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Физматгиз, 1960.

Каталог: ebibl -> umkd
umkd -> Глоссарий
umkd -> Разработка технологической документации