Моделирование в познавательной и учебной деятельности

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ОБРАЗОВАНИИ

О.Б. Сухорукова, к.т.н., Р.В. Конеев

В данной статье рассмотрены понятия модели и моделирования, условия существования, признаки сходства и различия моделей. Значительное внимание уделено математическому моделированию, его применению в познавательной и практической деятельности человека, внедрению математического моделирования в процесс преподавания учебных дисциплин.

Ключевые слова: модель, моделирование, математика, математическое моделирование, знание, практика, обучение.

Оптимально построенный процесс обучения дисциплинам математического цикла способствует формированию основных профессиональных исследовательских компетенций. Математический аппарат используется для описания различных явлений, закономерностей, структуры систем социума. Ведущим математическим методом исследования является математическое моделирование.

Значение метода математического моделирования возрастает в силу востребованности прогнозирующих функций естественных, технических и общественных наук. Используя мощные средства прикладной математики и компьютерной техники, моделирование, безусловно, способствует этому прогнозированию.

Математика фактически основана на методе моделирования, поскольку объектами её изучения являются модели реального мира. Ярче всего это проявляется в прикладной математике, которая оказывает заметное влияние на развитие других областей науки и практики.

Говоря о расширении области применения математики, мы, по сути, подразумеваем расширение области применения математических моделей. Сегодня нет оснований для сомнений в обоснованности использования термина «математическое моделирование» к изучению с математическими методами явлений, рассматриваемых статистикой, теорией графов, теорией игр, эконометрикой, криптографией, психологией, педагогикой, медициной, языкознанием, социологией.

Модель (фр. modele, от лат. modulus - мера, образец, норма), упрощённое представление реального объекта, явления либо процесса, обладающее существенными для исследователя свойствами данного объекта – оригинала модели [1].

Иными словами, модель – это любая система, воображаемая или существующая в действительности, являющаяся образом другой системы (оригинала), удовлетворяющая следующим условиям:

1) Модель и оригинал связаны фиксированным по форме отношением сходства (условие отражения).

2) В процессах научного познания модель замещает изучаемый объект (условие репрезентации).

3) Исследование модели – источник сведений об оригинале (условие экстраполяции).

Эти условия взаимосвязаны и являются необходимыми и достаточными признаками модели. Они необходимы в силу того, при отсутствии одного из них система утрачивает модельный характер. Достаточность указанных признаков модели гарантирована тем, что они объясняют все особенности модели как специального средства и особой формы научного познания.

Понятие моделирование является эпистемологической категорией, которая характеризует один из важных путей познания. Результаты, полученные в процессе конструирования и изучения модели, возможно перенести на оригинал. Такая возможность основана на отображении моделью некоторых сторон рассматриваемого объекта. Для успешного воспроизведения этих сторон важно наличие соответствующих предположений (гипотез), которые будучи достаточно обоснованными, дают возможность обозначить границы допустимых при моделировании упрощений. Моделирование всегда применяют в тесной связи с экспериментом.

Основными признаками, согласно которым можно различить, сгруппировать и систематизировать различные типы моделей, являются:

1) способ, форма представления оригинала;

2) степень сходства модели и реального объекта.

В зависимости от способа представления и формы воспроизведения, модели подразделяются на идеальные (воображаемые, мысленные) и материальные. Модели, взятые из природы в качестве образцов, либо сконструированные исследователем искусственно, являются материальными. Отношения сходства к объекту (оригиналу) таких моделей существуют объективно. Они не зависят ни от сознания человека, ни от способа построения модели. Именно это свойство материальных объектов делает их незаменимыми в научном эксперименте, который сам по себе является формой материальной деятельности. Отличие идеальных (мысленных) моделей от материальных состоит в том, что они создаются в форме воображаемых образов, существующих в сознании человека. Будучи идеальными конструкциями, воображаемые модели выполняют познавательные функции.

Мысленные модели, в свою очередь, по различиям в характере и степени их сходства с оригиналом бывают:

1. 
   знаковыми (символическими) (упорядоченная запись, топологическая запись, графовая запись),
   
2. 
   наглядно-образными (схемы, диаграммы, чертежи, рисунки),
   
3. 
   математическими (аналитические, геометрические).
   

Целый ряд объективных условий делает невозможным или крайне затруднительным проведение прямого эксперимента, вследствие чего возникает необходимость работы с моделями, аналогичными реальным объектам исследования.

«Математическая модель, – пишет академик А.А. Самарский, – это не только уравнения, но и дополнительные условия, устанавливающие границы их применимости. Все полученные с помощью этой модели теоретические результаты будут справедливы только в оговоренных рамках. Таким образом, конструирование математической модели какого-либо процесса или явления – до крайности деликатное дело. Здесь, с одной стороны, нельзя ни на грамм переложить сложности; с другой стороны, также недопустимо жертвовать ради стремления к простоте различными физическими эффектами» [2].

В основу прикладной математики положен важнейший вид знакового моделирования – математическое, производимое выразительными и дедуктивными средствами математики и логики, или, как его называют иначе, логико-математическое моделирование.

Экспериментирование с моделями, обладающими одной физической природой с натурой, страдает существенными недостатками, ограниченными возможностями, а в ряде случаев и просто невозможно. Недостатки этого метода состоят в том, что построение моделей часто требует много времени, их стоимость обычно велика, а методы измерения искомых величин обладают слабой точностью, имеют большую погрешность и искажают изучаемое явление. Поэтому практика моделирования, построения экспериментальных моделей шагнула далеко за рамки ограниченного круга механических явлений в частности и взаимодействия систем в пределах одной формы движения материи вообще.

Возникшее в середине XX века, быстро развивающееся в новом столетии «математическое» моделирование заключается в построении и экспериментальном исследовании моделей, отличных по своей физической природе от объекта моделирования. Эта особенность позволила снять ограничения физического моделирования. Обобщение теории подобия, являющееся основой соотношения модель - натура, при математическом моделировании, не учитывает качественную разнородность модели и объекта, их принадлежность к разным формам движения материи. Такое обобщение, при условии обратимости изучаемых структур, трансформируется в более абстрактную теорию изоморфных систем.

Математическая модель есть система математических соотношений, выражающих наиболее существенные свойства некоторого объекта, процесса либо явления. Математическое моделирование – мощный метод решения разнообразных задач, в том числе образовательных. Весь потенциал возможностей этого эффективного средства познания, прогнозирования и управления раскрыт ещё не в полной мере.

В условиях возрастающей математизации знаний становится важной задача внедрения математического моделирования в преподавание учебных дисциплин [3]. Использование метода математического моделирования в учебном процессе способствует формированию у студентов профессиональных и общекультурных компетенций. Здесь идёт речь не только о применении готовых математических методов и результатов, но и о создании математического подхода, который позволял бы наиболее полно и точно выделять необходимые следствия и применять полученные результаты в практической деятельности. На начальном этапе, вследствие отсутствия у обучающихся опыта, могут возникать ситуации, когда модель построена неудачно. Но даже в этом случае, поиск причины несогласованности полученных результатов или промежуточных показателей с реальными данными позволяет выявить новые свойства исследуемого явления. Таким образом, обучение с помощью метода математического моделирования создаёт условия для развития творческого мышления. В свою очередь, гибкость мышления, восприимчивость к быстро меняющимся условиям обеспечивает конкурентоспособность будущих выпускников, их адаптацию к профессиональной деятельности.

В наше время познавательная и практическая деятельность человечества немыслима без метода моделирования. Сейчас нет, пожалуй, ни одной отрасли науки, которая широко бы его не использовала. Кроме традиционных физики и механики, его применяют медицина, биология, иммунология [4], социология, химия, психология, педагогика, экономика и др. Более того, существует ряд наук, которые просто не могли бы возникнуть без этого метода. К ним относятся бионика, математическая лингвистика, кибернетика, вместе со всеми своими отраслями и многие другие.

Значимость моделирования и эксперимента особенно возрастает при решении глобальных проблем современности (экологической, энергетической, демографической и др.). Модель, в частности, позволяет выяснить, как изменяется условия жизни на Земле, при увеличении концентрации в углекислоты атмосфере.

При планировании промышленных предприятий возникает задача выбора их оптимального расположения с соблюдением экологических и санитарных норм. И здесь исследования проводятся на построенной адекватной математической модели. Рациональное использование сырьевых ресурсов (водных, лесных, энергетических и др.) также возможно только при тщательном изучении способов их употребления.

Наконец, демографическая проблема. Для ее изучения создана такая наука, как демографическая статистика, методами которой рассчитывают ожидаемую численность и возрастно-половую структуру населения мира, что необходимо при планировании трудовых ресурсов и потребления.

Совершенствование языков программирования, растущая скорость обработки данных, разработка кластерных вычислительных систем открывают новые возможности в применении моделирования. С другой стороны, использование математического моделирования в образовательной деятельности вузов способствует развитию основных компонентов готовности студентов к исследовательской деятельности и формированию их как высококвалифицированных специалистов.